Признаки параллелограмма

Рассмотрим три признака параллелограмма.

Теорема. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = CD и AB || CD, и докажем, что этот четырехугольник — параллелограмм.

Проведем ту из диагоналей четырехугольника, которая разделяет его на два треугольника (диагональ AC на рисунке 58). Треугольники ABC и CDA равны по первому признаку равенства треугольников (AC — общая сторона, AB = CD по условию, накрест лежащие углы 1 и 2 равны), поэтому ∠3 = ∠4.

Поскольку углы 3 и 4 — накрест лежащие, образованные при пересечении прямых AD и BC секущей AC, то AD || BC. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, т. е. этот четырехугольник — параллелограмм. Теорема доказана.

Признаки параллелограмма
Теорема. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = CD и AD = BC, и докажем, что этот четырехугольник — параллелограмм.

Проведем ту из диагоналей четырехугольника, которая разделяет его на два треугольника (диагональ AC на рисунке 59). Треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников (AC — общая сторона, AB = CD и BC = DA по условию), поэтому ∠1 = ∠2.

Поскольку углы 1 и 2 — накрест лежащие, образованные при пересечении прямых AB и CD секущей AC, то AB || CD. Таким образом, AB = CD и AB || CD. Следовательно, по предыдущей теореме четырехугольник ABCD — параллелограмм. Теорема доказана.

Теорема. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD, диагонали AC и BD которого пересекаются в точке O и делятся ею пополам (рис. 60). Докажем, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Треугольники AOB и COD равны по первому признаку равенства треугольников (AO = OC, BO = OD по условию, вертикальные углы AOB и COD равны), поэтому ∠1 = ∠2.
Поскольку углы 1 и 2 — накрест лежащие, образованные при пересечении прямых AB и CD секущей AC, то AB || CD. Аналогично доказывается, что AD || BC. Итак, противоположные стороны четырехугольника ABCD попарно параллельны, т. е. этот четырехугольник — параллелограмм. Теорем доказана.

Математика: