Свойства параллелограмма

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Докажем, что

  • параллелограмм — выпуклый четырехугольник.

Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 54) и докажем, например, что он лежит по одну сторону от прямой AB.

Параллелограмм

Так как AB || CD, то отрезок CD не имеет общих точек с прямой AB. Иными словами, отрезок CD лежит по одну сторону от прямой AB. Следовательно, отрезки BC и AD лежат по ту же сторону от прямой AB. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой AB. Аналогично доказывается, что он лежит по одну сторону от каждой из прямых BC, CD и DA. Это и означает, что параллелограмм — выпуклый четырехугольник.

Рассмотрим свойства параллелограмма.

Теорема. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 55). Поскольку параллелограмм ABCD — выпуклый четырехугольник, то диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и CDA. Эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (AC — общая сторона, накрест лежащие углы 1 и 2, а также 3 и 4 равны).

Следовательно, AB = CD, AD = BC, ∠B = ∠D и ∠A = ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = ∠C. Теорема доказана.

Равенство противоположных сторон и углов параллелограмма
Теорема. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Поскольку параллелограмм — выпуклый четырехугольник, то его диагонали пересекаются. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD (рис. 56). Докажем, что AO = OC и BO = OD.

Диагонали параллелограмма

Треугольники AOB и COD равны по второму признаку равенства треугольников: AB = CD (противоположные стороны параллелограмма равны), ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 (накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD, равны). Следовательно, AO = OC и BO = OD. Теорема доказана.

Рисунок 57 иллюстрирует рассмотренные свойства параллелограмма.

Свойства параллелограмма