Признаки параллельности двух прямых

В 7 классе мы говорили о том, что две прямые либо имеют только одну общую точку, т. е. пересекаются, либо не имеют общих точек, т. е. не пересекаются.

Определение

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Параллельность прямых AB и CD, a и b (отрезков MN и PQ) обозначается так: AB || CD, a || b (MN || PQ).

Примеры параллельности

Рассмотрим прямые a и b, а также прямую c, пересекающую их в двух точках (рис. 10). Прямую c назовем секущей по отношению к прямым a и b. Углы 1 и 3, а также 2 и 4 назовем накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей c.
Секущая и накрест лежащие углы
Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 11, а). Докажем, что прямые a и b параллельны.

Если предположить, что прямые a и b пересекаются в некоторой точке C (рис. 11, б), то получится треугольник ABC, внешний угол которого (угол 1 на рисунке 11, б) равен углу этого треугольника, не смежному с ним. Но этого быть не может. Следовательно, прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Доказательство параллельности прямых

При пересечении двух прямых секущей наряду с накрест лежащими углами образуются и другие углы (рис. 12). Назовем углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 соответственными, а углы 4 и 5, 3 и 6 односторонними. Из доказанной теоремы вытекают два следствия.

Следствие 1

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть соответственные углы 1 и 2 равны (рис. 13): ∠1 = ∠2. Так как вертикальные углы 2 и 3 равны, то ∠1 = ∠3, т. е. равны накрест лежащие углы 1 и 3. Следовательно, a || b.

Равенство соответственных углов
Следствие 2

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то эти прямые параллельны.

Пусть сумма односторонних углов равна 180º (рис. 14): ∠1 + ∠2 = 180º.

Сумма односторонних углов

Сумма смежных углов 3 и 2 также равна 180º:

∠3 + ∠2 = 180º.

Из этих двух равенств получаем ∠1 = ∠3, т. е. равны накрест лежащие углы 1 и 3.

Следовательно, a || b.