Свойства параллельных прямых

В пункте 41 мы установили, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Справедливо и обратное утверждение.

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые a и b, пересеченные секущей AB, и докажем, что накрест лежащие углы 1 и 2 (рис. 19, а) равны.

Равенство накрест лежащих углов

Предположим, что ∠1 ≠ ∠2. Отложим от луча AB угол CAB, равный углу 2, так, чтобы углы CAB и 2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых AC и b секущей AB (рис. 19, б).

Поскольку накрест лежащие углы CAB и 2 равны, то AC || b. Таким образом, через точку A проходят две прямые (a и AC), параллельные прямой b, чего не может быть. Следовательно, наше предположение неверно, и ∠1 = ∠2. Теорема доказана.

Рассмотрим несколько следствий из данной теоремы.

Следствия:

  1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
  2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180º.
  3. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
  4. Все точки каждой из параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Следствия из равенства накрест лежащих углов

Используя рисунок 20, выведите самостоятельно первые три следствия. Докажем следствие 4.

Пусть a и b — параллельные прямые. Отметим на прямой a какую-нибудь точку A и проведем к этой точки перпендикуляр AB к прямой b (рис. 21). Докажем, что расстояние от любой точки M прямой a до прямой b равно AB.

Равноудаленность точек параллельных прямых

Пусть MH — перпендикуляр, проведенный из точки M к прямой b. Так как MH ⊥ b, то, согласно следствию 3, MH ⊥ a. Аналогично AB ⊥ a. Поэтому четырехугольник ABHM — прямоугольник, и, следовательно, его противоположные стороны AB и MH равны.

Итак, любая точка M прямой a находится на расстоянии AB от прямой b. Ясно, что все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой a.

Определение. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Справедливо утверждение, обратное следствию 4. Множество всех точек плоскости, расположенных по одну сторону от данной прямой и равноудаленных от нее, есть прямая, параллельная данной.

Пусть a — данная прямая, Ф — множество всех точек плоскости, расположенных по одну сторону от прямой a на расстоянии d от нее. Через какую-нибудь точку A множества Ф проведем прямую b, параллельную прямой a (рис. 22). Докажем, что множество Ф совпадает с прямой b. Для этого нужно доказать, что любая точка прямой b принадлежит множеству Ф, и обратно: любая точка множества Ф лежит на прямой b.

Равноудаленность точек

Так как расстояние от точки A до прямой a равно d, то расстояние от любой точки прямой b до прямой a также равно d (следствие 4, п. 43).

Кроме того, все точки прямой b лежат по ту же сторону от прямой a, что и точка A множества Ф, поэтому любая точка прямой b принадлежит множеству Ф.

Обратно: пусть M — произвольная точка множества Ф, MM1 — перпендикуляр, проведенный из точки M к прямой a. Прямая MM1 перпендикулярна к прямой a, поэтому она пересекает прямую b, параллельную a, в некоторой точке Q. Так как QM1 = d, MM1 = d и точки Q и M лежат по одну сторону от прямой a, то эти точки совпадают, т. е. точка M лежит на прямой b. Утверждение доказано.

Доказанное утверждение дает обоснование практическому способу проведения прямой, параллельной данной, с помощью столярного инструмента, называемого рейсмусом. Рейсмус используется для проведения на поверхности деревянного бруска прямой, параллельной краю бруска. При передвижении рейсмуса вдоль края бруска его металлическая игла находится на постоянном расстоянии от края бруска и, следовательно, прочерчивает отрезок, параллельный краю бруска.

Использование рейсмуса