Основная теорема о параллельных прямых

Докажем основную теорему о параллельных прямых.

Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство. Пусть a — данная прямая, M — точка, не лежащая на этой прямой. Докажем сначала, что через точку M проходит прямая, параллельная прямой a.

Из точки M проведем перпендикуляр MH к прямой a, а затем через точку M проведем прямую b, перпендикулярную к прямой MN (рис. 15). Так как прямые a и b перпендикулярны к прямой MH, то они не пересекаются, т. е. прямые a и b параллельны.

Прямая, проходящая через точку и параллельная другой прямой

Итак, через данную точку M проходит прямая b, параллельная данной прямой a.

Докажем теперь, что любая прямая, проходящая через точку M и отличная от прямой b, пересекается с прямой a.

Рассмотрим прямую MA1, отличную от прямой b; причем точка A1 отмечена так, что угол A1MH острый (рис. 16, а). Отложим на луче MA1 отрезок MA2 = 2MA1 (т. е. A1A2 = MA1) и проведем перпендикуляры A1H1 и A2H2 к прямой MH, а также перпендикуляр A1K1 к прямой A2H2. Так как в четырехугольнике A1H1H2K1 три угла прямые, то этот четырехугольник является прямоугольником, поэтому A1K1 = H1H2.

Доказательство единственности параллельной прямой, проходящей через точку

В прямоугольных треугольниках A1A2K1 и MA1H1 равны гипотенузы A1A2 и MA1, а также острые углы ∠A1A2K1 и ∠MA1H1 (каждый из них равен 90º – ∠A1MH1), поэтому A1K1 = MH1 и, следовательно, H1H2 = MH1 и MH2 = 2MH1.

Аналогично доказывается, что если на луче MA1 отложим отрезок о MA3 = 3MA1 (т. е. A2A3 = MA1) и проведем перпендикуляр A3H3 к прямой MN, то MH3 = 3MH1 (рис. 16, б).

Продолжая эту процедуру, на n-м шаге получим на лучах MA1 и MH такие точки An и Hn, что MAn = n · MA1 и MHn = n · MH1 (рис. 16, в).

Возьмем такое число n, что MHn > MH. Тогда точки M и Hn будут лежать по разные стороны от прямой a, а так как прямые AnHn и a не пересекаются (поскольку они перпендикулярны к прямой MH), то точка An лежит по ту же сторону от прямой a, что и точка Hn. Следовательно, точки An и M лежат по разные стороны от прямой a, и поэтому прямая MA1 пересекается с прямой a.

Итак, любая прямая, проходящая через точку M и отличная от прямой b, пересекается с прямой a. Теорема доказана.

Замечание. В ходе доказательства теоремы мы установили, что если на стороне MA1 острого угла A1MH отложить последовательно равные отрезки MA1, A1A2, … , An-1An и провести перпендикуляры A1H1, A2H2, …, A2Hn к прямой MH, то на стороне MH образуются равные отрезки MH1, H1H2, …, Hn-1Hn. Отсюда следует, что если отрезок MA1 разбить на несколько равных частей и из точек разбиения провести перпендикуляры к прямой MH, то основания этих перпендикуляров разобьют отрезок MH1 на столько же равных частей.

Выведем два следствия из теоремы.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

В самом деле, рассмотрим параллельные прямые a и b и прямую c, пересекающую прямую a в точке M (рис. 17, а).

Секущая параллельных прямых

Если бы прямая c не пересекала прямую b, то через точку M проходили бы две прямые (a и c), параллельные прямой b (рис. 17, б), чего не может быть.
Следовательно, прямая c пересекает прямую b.

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

В самом деле, рассмотрим две прямые a и b, каждая из которых параллельна прямой c (рис. 18, а), и докажем, что a || b.

Если бы прямые a и b пересекались в некоторой точке M (рис. 18, б), то через точку M проходили бы две прямые (a и b), параллельные прямой c, чего не может быть. Следовательно, прямые a и b не пересекаются. Но это и означает, что a || b.

Параллельность прямых

Для построения с помощью циркуля и линейки прямой b, проходящей через данную точку M параллельно данной прямой a, можно поступить так: через точку M провести сначала прямую MH, перпендикулярную к a, а затем прямую b, перпендикулярную к прямой MH (см. рис. 15).