Свойства ортоцентра треугольника

Докажем сначала, что

  • точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон, лежат на окружности, описанной около этого треугольника, и диаметрально противоположны его вершинам.

Проведем доказательство этого утверждения для точки, симметричной ортоцентру треугольника ABC относительно середины стороны BC.

Рассмотрим сначала случай, когда ∠B ≠ 90º и ∠C ≠ 90º. Пусть BB1, CC1 — высоты треугольника ABC, H — его ортоцентр (рис. 80, а).

Проведем диаметр AD окружности, описанной около треугольника ABC (рис. 80, б). Поскольку каждый из вписанных углов ABD и ACD опирается на полуокружность, то BD ⊥ AB и CD ⊥ AC. Следовательно, BB1 || CD и CC1 || BD.

Ортоцентр треугольника и описанная окружность

Рассмотрим четырехугольник BDCH. Его противоположные стороны попарно параллельны, поэтому этот четырехугольник — параллелограмм, и его диагонали BC и DH точкой M пересечения делятся пополам: BM = MC, DM = MH (рис. 80, в).

Таким образом, точка D описанной окружности, диаметрально противоположная точке A, симметрична ортоцентру H относительно середины M стороны BC.

В случае, когда ∠B = 90º (рис. 80, г), ортоцентром треугольника ABC является точка B, а точка D, симметричная ортоцентру относительно середины M стороны BC, совпадает с точкой C и, следовательно, лежит на окружности, описанной около треугольника ABC, и диаметрально противоположна точке A.

В случае, когда ∠C ≠ 90º, доказательство проводится аналогично (рис. 80, д).

Итак, во всех случаях точка, симметричная ортоцентру H относительно середины стороны BC, лежит на окружности, описанной около треугольника ABC, и диаметрально противоположна вершине A.

Аналогично доказывается, что точка, симметричная ортоцентру H относительно середины стороны CA(AB), лежит на окружности, описанной около треугольника ABC, и диаметрально противоположна вершине B(С).

Докажем теперь, что

  • точка пересечения медиан неравностороннего треугольника лежит на отрезке, соединяющем центр описанной около него окружности с ортоцентром, и делит этот отрезок в отношении 2 : 1, считая от ортоцентра.

Рассмотрим неравносторонний треугольник ABC, в котором, например, AB ≠ AC. Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, D — точка окружности, диаметрально противоположная вершине A, H — ортоцентр треугольника ABC (рис. 81, а).

Ортоцентр треугольника и описанная окружность

В рассматриваемом случае точка A, D и H не лежат на одной прямой (объясните почему). Поскольку точки H и D симметричны относительно середины M стороны BC, то HM = MD (рис. 81, б).

Отрезки HO и AM являются медианами треугольника ADH (рис. 81, в), поэтому каждый из них делится точкой G их пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины: HG : GO = 2 : 1, AG : GM = 2 : 1. Но отрезок AM, будучи медианой треугольника ABC, делится в отношении 2 : 1, считая от вершины A, точкой пересечения медиан треугольника ABC. Следовательно, точка G является точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Таким образом, точка G лежит на отрезке HO и делит этот отрезок в отношении 2 : 1, считая от точки H.

Прямая, на которой лежат центр окружности, описанной около треугольника, точка пересечения его медиан и ортоцентр, называется прямой Эйлера этого треугольника — по имени выдающегося швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707-1783), многие годы жившего и работавшего в России.