Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис. 73, а). Докажем теорему о средней линии треугольника.

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство. Пусть M и N — середины сторон BA и BC треугольника ABC (см. рис. 73, а). Докажем, что MN || AC и MN = ½AC.

Средняя линия треугольника

На продолжении отрезка MN за точку N отложим отрезок NL, равный MN (рис. 73, б). Диагонали четырехугольника MBLC пересекаются в точке N и делятся этой точкой пополам. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм, поэтому отрезки MB и CL равны и параллельны. Из этого следует, что отрезки AM и CL также равны и параллельны, т. е. четырехугольник AMLC — параллелограмм.

Таким образом, MN || AC и MN = ½ML = ½AC. Теорема доказана.

Следствие. Прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой его стороне, делит третью сторону пополам.

Пусть точка M — середина стороны AB треугольника ABC (см. рис. 73, а). Через точку M можно провести только одну прямую, параллельную прямой AC. Этой прямой является прямая MN, где N — середина стороны BC, так как согласно доказанной теореме MN || AC. Прямая MN делит сторону BC пополам, что и требовалось доказать.

Математика: