Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (рис. 74, а). Докажем теорему о средней линии трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство. Пусть MN — средняя линия трапеции ABCD (см. рис. 74, а). Докажем, что

MN || AD и MN = ½(AD + BC).

Средняя линия трапеции

Проведем через точку M прямую, параллельную основаниям трапеции. Эта прямая проходит через середину M стороны AB треугольника ABD и параллельна его стороне AD, поэтому (согласно следствию из теоремы о средней линии треугольника) она пересекает сторону BD в ее середине O (рис. 74, б).

Прямая MO проходит через середину O стороны BD треугольника BCD и параллельна его стороне BC, поэтому она пересекает сторону CD в ее середине N (рис. 74, в). Таким образом, прямая MO совпадает с прямой MN. Следовательно, MN || AD.

Поскольку отрезки MO и ON — средние линии треугольников ABD и BCD, то MO = ½AD и ON = ½BC. Поэтому MN = MO + ON = ½(AD + BC). Теорема доказана.

Следствие. Прямая, проходящая через середину боковой стороны трапеции параллельно ее основаниям, проходит через середину другой боковой стороны.

Математика: