Теорема о пересечении медиан треугольника

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC с медианами AA1, BB1, CC1 и обозначим буквой G точку пересечения медиан AA1 и BB1 (рис. 77). Докажем, что медиана CC1 проходит через точку G и точка G делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Пересечение медиан треугольника

Проведем через точки A1 и C1 прямые, параллельные BB1 и пересекающие сторону AC в точках M и N (рис. 78). Поскольку BA1 = A1C и A1M || BB1, то по теореме Фалеса

B1M = MC = ½B1C = ¼AC.

По аналогичной причине

AN = NB1 = ¼AC.

Из полученных равенств следует, что AN = NB1 = B1M, поэтому (по теореме Фалеса) параллельные прямые NC1, B1B и MA1 делят отрезок AA1 на три равных отрезка. Следовательно, AG = 2GA1, т. е. точка G пересечения медиан AA1 и BB1 делит медиану AA1 в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство теоремы о точке пересечения медиан треугольника

Аналогично доказывается, что точка G1 пересечения медиан AA1 и CC1 делит медиану AA1 в отношении 2 : 1, считая от вершины. Так как каждая из точек G и G1 делит медиану AA1 в одном и том же отношении, то точки G и G1 совпадают.

Таким образом, все три медианы пересекаются в точке G, причем

AG : GA1 = 2 : 1.

Аналогично получаем

BG : GB1 = 2 : 1 и CG : GC1 = 2 : 1.

Теорема доказана.

Математика: