Введение к учебнику геометрии, 8 класс

Мы продолжаем изучение свойств геометрических фигур на плоскости, познакомимся с новыми фигурами и их свойствами, введем новые понятия. При этом мы будем опираться на то, что вы узнали из учебника геометрии 7 класса.

Напомним утверждения, доказанные в этом учебнике. В первой главе рассматривались простейшие геометрические фигуры: точки, прямые, отрезки, лучи, углы. В этой главе мы доказали

  • следующие утверждения:
  • сумма смежных углов равна 180°;
  • вертикальные углы равны;
  • из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один;
  • две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, не пересекаются.

Вторая глава была посвящена изучению треугольников. При рассмотрении равнобедренных треугольников были доказаны три теоремы:

  • углы при основании равнобедренного треугольника равны (теорема об углах равнобедренного треугольника);
  • если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника);
  • высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и биссектрисой (теорема о высоте равнобедренного треугольника).

Затем мы рассмотрели три признака равенства треугольников (напомним, что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением):

  • если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (первый признак, рис. 1);
  • если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (второй признак, рис. 2);
  • если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак, рис. 3).

Равенство треугольников
Равенство треугольников

При изучении прямоугольных треугольников мы использовали свойства прямоугольника. Напомним, что прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые. Нами была доказана теорема:

  • противоположные стороны прямоугольника равны.

Из этой теоремы были выведены следствия:

  • если один из углов треугольника прямой, то сумма двух других углов этого треугольника равна 90°;
  • если в четырехугольнике три угла прямые, то этот четырехугольник является прямоугольником.

С помощью первого следствия показано, что треугольники делятся на три вида: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные (рис. 4).

Типы треугольников

Были установлены свойства прямоугольных треугольников:

  • медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы;
  • гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета;
  • катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы;
  • если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Также были рассмотрены признаки равенства прямоугольных треугольников:

  • по двум катетам;
  • по катету и прилежащему к нему острому углу;
  • по гипотенузе и острому углу;
  • по катету и противолежащему углу;
  • по гипотенузе и катету.

С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников были доказаны следующие теоремы:

  • каждая точка срединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка; каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку (теорема о серединном перпендикуляре к отрезку и обратная ей, рис. 5);
  • каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон; каждая точка, лежащая внутри неразвернутого угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе (теорема о биссектрисе угла, рис. 6, и обратная ей, рис. 7).

Срединный перпендикуляр
Биссектриса

Напомним еще три теоремы этой главы:

  • каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон (неравенство треугольника);
  • в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол;
  • сумма углов треугольника равна 180°.

Из теоремы о сумме углов треугольника было выведено следствие:

  • внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с этим внешним углом.

Третья глава была посвящена изучению свойств окружности. Напомним, что окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Мы изучили взаимное расположение прямой и окружности и получили следующие результаты (рис. 8):

  • если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки;
  • если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку (в этом случае прямая называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности);
  • если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Общие точки прямой и окружности

Были доказаны теорема о свойстве касательной и обратная ей:

  • касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания; если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна к радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной.

Напомним, что отрезками касательных, проведенных из точки A, мы называем отрезки AB и AC, где B и C — точки касания (рис. 9). Они обладают следующими свойством:

  • отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Отрезки касательных

В этой главе мы ввели понятие градусной меры дуги окружности и доказали две теоремы:

  • угол между касательной и хордой измеряется половиной заключенной внутри этого угла дуги (теорема об угле между касательной и хордой);
  • вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (теорема о вписанном угле).

Из теоремы о вписанном угле мы вывели три следствия:

  • вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;
  • вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой;
  • если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника, то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности.

Также в третьей главе мы познакомились с новым типом задач — задачами на построение с помощью циркуля и линейки без делений. Мы научились строить с помощью этих двух инструментов: треугольник по трем сторонам; угол, равный данному; биссектрису данного угла; срединный перпендикуляр к данному отрезку; середину отрезка; прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой; прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету; касательную к данной окружности, проходящую через данную точку.

Все, что мы изучали в 7 классе, понадобится нам для дальнейшего изучения свойств геометрических фигур и применения этих свойств на практике.

Математика: