Историческая справка по геометрии

Аксиомы геометрии, «Начала» Евклида и геометрия Лобачевского. Основные принципы аксиоматического построения науки впервые отчетливо сформулировал Аристотель, развивая учения Пифагора и Платона. Аристотель отмечал, что при доказательстве того или иного утверждения мы опираемся на ранее установленные факты. Поэтому те положения, с которых мы начинаем построение науки, не могут быть логически доказаны – их следует принять в качестве аксиом. (Слово «аксиома» происходит от греческого слова «достойный».)

Воплощением идей Аристотеля явился знаменитый труд Евклида «Начала». В нем сформулировано сравнительно небольшое количество аксиом и постулатов, из которых выведены почти все известные в то время теоремы. Аристотель (а следуя ему, и Евклид) различал аксиомы (истины, общие для всех наук) и постулаты (истины, свойственные определенной науке). Впоследствии это различие почти утратилось, и сейчас то, что Евклид называл постулатами, обычно тоже называют аксиомами.

Евклид нигде не говорит о бесконечных прямых, а говорит только об отрезках, хотя и использует при этом слово «прямая». Он отмечает, что о~резок можно многократно продолжать, получая при этом каждый раз новый отрезок (но не всю прямую). Знаменитый пятый постулат также использует возможность продолжить отрезки: «Если секущая пересекает две прямые так, что сумма односторонних углов меньше 180º, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где сумма односторонних углов меньше 180º. (Здесь под словом «прямая», конечно, подразумевается отрезок, потому и говорится о продолжении прямой.)

Пятый постулат из «Начал» Евклида сыграл важную роль в развитии геометрии. Его формулировка гораздо сложнее формулировок остальных постулатов и аксиом, поэтому многие математики, начиная с древних времен, пытались доказать пятый постулат, т. е. вывести его как теорему из остальных аксиом Евклида. Но все эти попытки оказались неудачными: в предлагаемых доказательствах либо обнаруживались ошибки, либо пятый постулат неявно заменялся другой эквивалентной ему аксиомой, например:

  • множество всех точек плоскости, расположенных по одну сторону от прямой и равноудаленных от нее, есть прямая, параллельная данной (Прокл, около 410 – 485);
  • две сближающиеся прямые не могут начать расходиться (Омар Хайям, около 1048 – после 1122);
  • существует треугольник, подобный, но не равный другому треугольнику (Д. Саккери, 1667–1733);
  • существует хотя бы один прямоугольник (А. К. Клеро, 1713 – 1765);
  • существует хотя бы один треугольник, у которого сумма углов не меньше 180º (А. М. Лежандр, 1752 – 1833).

Ответ на вопрос о возможности доказательства пятого постулата был получен лишь в XIX в. Огромную роль в решении этой проблемы сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792 – 1856).

Вся сознательная жизнь Н. И. Лобачевского связана с Казанским университетом, где он сначала учился, затем (в 1816 г.) стал профессором, а с 1827 г. в течение 20 лет был ректором. Он, как и многие другие его предшественники, пытался доказать пятый постулат Евклида методом от противного. Не используя пятый постулат, можно доказать, что через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, не пересекающую данную. Из пятого постулата можно вывести, что такая прямая только одна. Лобачевский же предположил, что таких прямых можно провести несколько, и, исходя из этого, пытался получить утверждение, противоречащее другим аксиомам или выведенным из них теоремам. Если бы такое утверждение удалось получить, то это означало бы, ~то предположение неверно, а потому через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную. Таким образом, пятый постулат был бы доказан.

Но Лобачевский не получил утверждений, противоречащих другим аксиомам. Более того, он понял, что пятый постулат не следует из других аксиом Евклида, а из полученных им утверждений складывается стройная и глубокая теория. Из этого Лобачевский сделал фундаментальный вывод: можно построить другую геометрию, отличную от геометрии Евклида. Впоследствии эта геометрия получила развитие в трудах Бельтрами (1835 – 1900), Пуанкаре (1854 – 1912) и Клейна (1849 – 1925), а так как доказанные Лобачевским утверждения составляют важнейшую часть этой геометрии, ее стали называть геометрией Лобачевского [14]. Она во многом отличается от евклидовой геометрии, которая изучается в школе. Так, в геометрии Лобачевского нет подобных, но не равных друг другу треугольников, нет ни одного прямоугольника, а сумма углов любого треугольника меньше 180º. Отметим, что о возможности существования такой геометрии писал еще Аристотель [2].

Сообщение об открытии новой геометрии Лобачевский сделал в феврале 1826 г, на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета. Независимо от Лобачевского к аналогичному открытию пришел венгерский математик Я. Бойяи (1802 – 1860), но он опубликовал свои результаты лишь в 1832 г. В рукописях великого немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 – 1855) содержатся идеи, близкие к идеям Лобачевского и Бойяи, но он не решился опубликовать их, опасаясь быть непонятым.

Открытие Лобачевского явилось крупнейшим событием в истории математики, во многом предопределившим развитие всей науки. До Лобачевского евклидова геометрия считалась единственно возможным учением о пространстве. Открытие же новой геометрии поставило вопрос об экспериментальной проверке того, какова именно геометрия реального пространства. Современная наука установила, что евклидова геометрия лишь приближенно, хотя и с большой точностью, описывает окружающее нас пространство, а в космических масштабах геометрия реального пространства заметно отличается от евклидовой. В настоящее время геометрия Лобачевского широко используется не только в математике, но и в физике, химии, биологии.

Бурное развитие математики в XIX в. привело к целому ряду замечательных открытий в геометрии. В частности, великий немецкий математик Б. Риман (1826– 1866) открыл еще одну новую геометрию, ныне называемую римановой геометрией, которая обобщает как геометрию Евклида, так и геометрию Лобачевского. Именно эта геометрия послужила фундаментом для построения общей теории относительности, созданной в 1916 г. великим физиком А. Эйнштейном (1879 – 1955).

Система аксиом Евклида и структура его изложения были во многих отношениях совершенны и долго оставались непревзойденными. Но эта система аксиом была неполной: при доказательствах Евклид пользовался не только своими аксиомами и постулатами, но и некоторыми другими утверждениями, не перечисленными среди аксиом. Это начинается уже с предложения 1 его труда «Начала», в котором строится равносторонний треугольник с заданной стороной АВ. Евклид сначала строит окружность радиуса АВ с центром А и окружность радиуса ВА с центром В (возможность таких построений оговорена постулатом 3). Затем он рассматривает точку пересечения этих окружностей. Но из аксиом и постулатов Евклида не следует, что эти окружности пересекаются.

Вопрос о полноте системы аксиом очень сложный. Труден также и вопрос о независимости аксиом друг от друга (может оказаться, что какая-то аксиома лишняя: ее можно вывести из других аксиом). Со всеми этими вопросами детально разобрался великий немецкий математик Д. Гильберт (1862 – 1943) и написал об этом книгу «Основания геометрии» [6].

Теория пропорций. Теория пропорциональности отрезков была разработана древнегреческим математиком Евдоксом Книдским (IV в. до н. э.). Она подробно изложена в V книге «Начал» Евклида. Эта теория довольно сложная. Дело в том, что у древнегреческих математиков не было понятия действительного числа; они рассматривали только натуральные числа и уже в более позднее время изредка использовали положительные рациональные числа. Поэтому они не могли отождествить длину отрезка с числом. В теории пропорциональности Евдокса фактически обосновываются свойства действительных чисел, и именно поэтому она такая сложная.

Тригонометрия. Тригонометрия была разработана Гиппархом (ок. 150 г. до н. э.), Менелаем и Птолемеем (ок. 150 г. н. э.) в Александрии для нужд астрономии. Александрийские астрономы в своих вычислениях использовали не синус и косинус, а хорды окружности. Но эти понятия тесно связаны друг с другом: если центральный угол величиной 2α опирается на хорду длины d окружности радиуса R, то sin α = d/2R. При этом использовалось сохранившееся до нашего времени деление окружности на 360 равных частей, которое было введено около 150 г. до н. э. Гипсиклом из Александрии. В делении окружности именно на 360 частей сказалось влияние вавилонских математиков, потому что в их способе записи чисел число 60 играло такую же роль, как у нас число 10; на таком делении основано измерение углов в градусах.
От хорд к синусам перешли индийские астрономы в начале V в. н. э, Само название «синус» восходит к этим ученым использовали термин «джива» – хорда, тетива лука. В арабских его переделали в слово «джиба», которое не имело обиходного а потом заменили на настоящее арабское слово «джайб» – пазуха, вырез платья, выпуклость. При переводах арабских книг на латынь стали применять слово sinux – буквальный перевод слова «джайб». Арабские математики внесли большой вклад в развитие тригонометрии. В частности, Абу-ль-Вафа (940 – 998) ввел в рассмотрение тангенс угла и составил очень подробную таблицу синусов и тангенсов, а Аль-Бируни (973 – 1050) доказал теорему синусов.


Теорема, близкая к теореме косинусов, доказана в «Началах» Евклида. Он рассматривал два случая: угол А тупой и угол А острый. Для тупого угла А теорема формулируется так. Пусть ВН – высота треугольника АВС. Тогда ВС2 = АВ2 + АС2 + 2АС * АН (рис. 135). Если в этом равенстве заменить АН на АВ * cos ∠ВАН = АВ * (–cos А), то мы получим теорему косинусов. Но такой замены Евклид сделать не мог, потому что в его книге синусов и косинусов вообще нет. Теорему косинусов в знакомом нам виде доказал немецкий математик Иоганн Мюллер (1436 – 1476), которого называли на латинский манер Региомонтан. (Он родился в маленьком городке Кенигсберге в Баварии. В переводе на русский язык название этого города означает «королевская гора», а если перевести на латынь, то получится Regio monte.)
Теорема Пифагора. Для современников Пифагор был прежде всего религиозным пророком. Он создал мистическое религиозное учение, которое отличалось от многочисленных мистических религий того времени тем, что очищение души и соединение с божеством достигались при помощи математики. Это учение было столь влиятельным, что многие ученики Пифагора обожествляли своего учителя.

Пифагор родился на острове Самос в Эгейском море. Юношей он отправился в странствия, продлившиеся более 20 лет. Прежде всего Пифагор посетил Милет, чтобы встретиться с Фалесом. Фалес передал ему все знания, какие мог, и побудил его плыть в Египет.

Много лет Пифагор провел в храмах Египта, изучая астрономию и геометрию. После этого 10 лет он находился в Вавилонии, а затем вернулся на Самос. Но власть тирана Поликрата пришлась ему не по нраву, и он переехал в город Кротон на юге Италии (там было так много древнегреческих колоний, что эта область Италии называлась в то время Великой Грецией). В Кротоне у Пифагора сначала было 200 учеников, а потом более 2000. Он проповедовал презрение к славе и богатству, уважение к старшим, воздержание от мяса, отказ от вина; его ученики принимали обет щадить и не губить животных, не вредных для человека. Пифагорейцы считали свое имущество общим и не брали плату за обучение тех, кто к ним приходил.

Важную роль в воспитании учеников Пифагор отводил музыке. Он первым разработал теоретические основы музыки и установил, что числовые отношения играют в музыке большую роль. Это побудило Пифагора обратить внимание на важность количественных соотношений в познании природы; ему принадлежит тезис «Все вещи суть числа». В его учении числа и мистика чисел играли важную роль. Например, Пифагор учил, что небесным богам нужно приносить нечетное, а подземным – четное число приношений.

Ученики Пифагора были разделены на две группы. В первой группе были начинающие. Их называли акусматиками, т. е. слушателями – от греческого «слышимый», потому что они прослушивали обобщенный свод знаний без подробного изложения и слушали поучения без доказательств. Более продвинутых учеников Пифагора называли математиками, т. е. познавателями – от греческого «познание, наука»; они изучали всю суть науки и занимались доказательствами. Школа Пифагора существовала много столетий после его смерти. Именно в этой школе была обнаружена и доказана иррациональность числа √2 (несоизмеримость диагонали квадрата и его стороны).

Сведения о том, как именно доказывал Пифагор теорему, которую связывают теперь с его именем, до нашего времени не дошли. Сохранились лишь неясные упоминания о «знаменитом чертеже» Пифагора, причем уже древнегреческие историки не были уверены, что этот чертеж относился именно к теореме Пифагора. Ситуация осложняется еще и тем, что у пифагорейцев был обычай все свои открытия приписывать Пифагору.

Золотое сечение. Золотое сечение было открыто Пифагором, оно играет большую роль в пифагорейской теории музыки. Первое дошедшее до нас письменное упоминание о золотом сечении содержится в «Началах» Евклида. Но там оно называется делением отрезка «в крайнем и среднем отношении». В 1509 г. известный итальянский математик Лука Пачолли использовал термин «божественная пропорция». А термин «золотое сечение» ввел немецкий математик Мартин Ом (1792 – 1872), младший брат знаменитого физика Георга Ома, в честь которого названа единица измерения сопротивления.

Золотое сечение тесно связано с правильным пятиугольником и соответственно с правильной пятиконечной звездой (пентаграммой). Пятиконечная звезда служила опознавательным знаком для пифагорейцев, она символизировала здоровье.

Клавдий Птолемей использовал равнобедренный треугольник с углом при основании в 72º, также связанный с золотым сечением, для составления таблиц хорд, аналогичных таблицам синусов. Эти таблицы были ему нужны для астрономических вычислений.

Интересующимся историей математики мы рекомендуем книгу [13].

Математика: