Золотое сечение

Рассмотрим отрезок AB и точку M, лежащую на нем. Говорят, что отрезки AM и MB образуют золотое сечение, если AM/AB = MB/AM (рис. 96), т. е. отношение большей части отрезка ко всему отрезку равно отношению меньшей части к большей. Это отношение принято обозначать греческой буквой φ (фи). Поскольку AM = φAB, MB = φAM = φ2AB и AM + MB = AB, то φAB + φ2AB = AB, откуда для числа φ получается квадратное уравнение φ + φ2 = 1, положительный корень которого выражается равенством φ = (√5 – 1)/2.

Золотое сечение

Золотое сечение было известно еще древним грекам, уделявшим большое внимание поиску красоты и совершенства. Они обнаружили, что зрительное восприятие разделенного на две части отрезка создает ощущение наивысшей гармонии в том случае, когда эти части образуют золотое сечение. В эпоху Возрождения золотое сечение называли даже «божественной пропорцией».

Оказывается, что пропорции золотого сечения можно обнаружить в строении человеческого тела. Это наблюдение широко используется скульпторами. Например, золотое сечение образуют многие фрагменты знаменитой статуи Аполлона Бельведерского (она хранится в одном из зданий Ватиканского музея). Даже буква φ, обозначающая отношение AM : MB, выбрана не случайно — это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, систематически использовавшего золотое сечение в своих работах.

Золотое сечение часто встречается в архитектуре. Примером может служить церковь Покрова Богородицы на Нерли, попарные отношения расстояний между различными ее конструкциями равны φ. Другой пример — внутренние дворы Palazzo Concellaria в Риме имеют форму прямоугольников, отношения смежных сторон которых равны φ. Золотое сечение лежит в основе композиции некоторых полотен Сальвадора Дали, Казимира Малевича и других художников.

Золотое сечение в архитектуре
Задача. Построить золотое сечение данного отрезка AB.

Решение. Через точку B проведем луч, перпендикулярный к отрезку AB (рис. 97), и отложим на нем отрезок BC, равный половине AB. Затем проведем окружность с центром C радиуса BC и отметим точку D ее пересечения с отрезком AC. Искомая точка M представляет собой точку пересечения окружности с центром A радиуса AD и отрезка AB.

Построение золотого сечения отрезка

В самом деле, по теореме Пифагора

AC2 = AB2 + (½ AB2) = (5/4) AB2.

Отсюда AC = (√5/2) AB, поэтому

AM = AD = AC – ½AB = ((√5 – 1)/2) AB = φAB.