Среднее геометрическое и среднее арифметическое двух отрезков

Отрезок XY называется средним геометрическим отрезков AB и CD, если XY2 = AB · CD.

Обратимся к рисунку 92. Так как

AH · HB = AB2 · cos2 A · sin2 A,
CH = AC · sin A = AB · cos A · sin A,

то CH2 = AH · HB, т. е. высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим отрезков, на которые она разделяет гипотенузу. На этом факте основано решение следующей задачи на построение.

Задача. Построить среднее геометрическое данных отрезков AB и CD.

Решение. На произвольной прямой отложим последовательно отрезки LM = AB и MN = CD, затем построим окружность с диаметром LN и через точку M проведем прямую, перпендикулярную к LN. Пусть P — одна из точек пересечения этой прямой с окружностью (рис. 93). Отрезок MP — искомый.

Среднее геометрическое отрезков

В самом деле, поскольку LN — диаметр окружности, то угол P треугольника LPN прямой. Отрезок PM — высота этого треугольника, проведенная из вершины прямого угла. Следовательно, PM2 = LM · MN = AB · CD, т. е. отрезок PM является средним геометрическим отрезков AB и CD.

Полусумму двух отрезков называют средним арифметическим этих отрезков.

Поскольку диаметр LN построенной окружности равен AB + CD, то ее радиус OP равен среднему арифметическому отрезков AB и CD, а так как гипотенуза OP прямоугольного треугольника OPM больше его катета PM, то

  • среднее арифметическое двух неравных отрезков больше их среднего геометрического.

Если же два отрезка равны, то их среднее арифметическое и среднее геометрическое равны, очевидно, каждому из этих отрезков.