Окружность Эйлера

Докажем одну из самых красивых теорем геометрии — теорему об окружности Эйлера.

Теорема. В неравностороннем треугольнике середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной окружности, центром которой является середина отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности, а ее радиус в два раза меньше радиуса описанной окружности.

Доказательство. Рассмотрим произвольный неравносторонний треугольник ABC и будем считать, что его вершины обозначены так, что AB ≠ AC и AB ≠ BC. Пусть H — ортоцентр; O — центр описанной окружности, R — ее радиус; A1, B1 и C1 — середины сторон BC, CA и AB; A2, B2 и C2 — основания высот, проведенных к этим сторонам; A3, B3 и C3 — середины отрезков AH, BH и CH; E — середина отрезка OH (рис. 82). Докажем, что окружность с центром E радиуса R/2 проходит через точки A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3.

Точки окружности Эйлера

Если ∠A = 90º, то точки H и A3 совпадают с точкой A, а точка A1 — с точкой O. Поэтому A1A3 = OA = R и точка E — середина отрезка A1A3 (рис. 83, а).

Доказательство теоремы об окружности Эйлера

Если же ∠A ≠ 90º, то проведем диаметр AD окружности, описанной около треугольника ABC (рис. 83, б). Так как точка A1 — середина отрезка DH (п. 64), то отрезок OA1 — средняя линия треугольника ADH. Отрезок OA3 также является средней линией этого треугольника. Следовательно,

A1A3 = ½AD = R,
OA3 = ½DH = A1H

и

OA3 || A1H.

Так как противоположные стороны OA3 и A1H четырехугольника OA3HA1 равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм, и середина E его диагонали OH является также серединой диагонали A1A3 (рис. 83, в). Таким образом, как и в предыдущем случае (когда ∠A = 90º), A1A3 = R и точка E — середина отрезка A1A3. Следовательно, окружность с центром E радиуса R/2 проходит через точки A1 и A3, а поскольку точка E — середина гипотенузы A1A3 прямоугольного треугольника A1A2A3, то указанная окружность проходит и через точку A2.

По аналогичным причинам эта окружность проходит через точки B1, B2 и B3, а в случае, когда AC ≠ BC, и через точки C1, C2 и C3 (рис. 84, а).

Если же AC = BC, то точки C1 и C2 совпадают, ∠A = ∠B ≠ 90º. Отрезки A1C1 и A3C3 — средние линии треугольников BAC и HAC с общей стороной AC, перпендикулярной к прямой BH (рис. 84, б). Следовательно, стороны A1C1 и A3C3 четырехугольника A1C1A3C3 равны и параллельны, поэтому этот четырехугольник — параллелограмм, причем A1C1 ⊥ BH.

Сторона A1C3 этого параллелограмма параллельна BH, поскольку она является средней линией треугольника BHC. Таким образом, A1C1 ⊥ A1C3, т. е. параллелограмм A1C1A3C3 — прямоугольник.

Его диагональ A1A3 является (согласно доказанному) диаметром рассматриваемой окружности, поэтому и диагональ C1C3 является ее диаметром.

Итак, точки C1, C2 (совпадающая с C1) и C3 лежат на этой окружности. Теорема доказана.

Окружность, на которой лежат середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, называется окружностью Эйлера. В равностороннем треугольнике окружность Эйлера совпадает с вписанной окружностью.

Обратим внимание на то, что центр описанной около треугольника окружности, его ортоцентр, точка пересечения медиан и центр окружности Эйлера лежат на прямой Эйлера. (Дополнительные сведения о геометрии треугольника можно найти в книге [10].)