Решение треугольников

Решением треугольников называется нахождение всех его элементов (т. е. трех сторон и трех углов) по каким-либо трем данным элементам, определяющим треугольник.

Решение треугольников основано главным образом на применении теорем синусов и косинусов, а также теоремы о сумме углов треугольника. Например, если даны две стороны треугольника и угол между ними, то можно с помощью теоремы косинусов найти третью сторону, затем воспользоваться теоремой косинусов для нахождения косинуса одного из двух неизвестных углов и по найденному косинусу найти сам угол, а другой неизвестный угол легко вычислить с помощью теоремы о сумме углов треугольника; если даны сторона и два прилежащих к ней угла, то третий угол можно найти с помощью теоремы о сумме углов треугольника, а затем, пользуясь теоремой синусов, найти неизвестные стороны; если даны три стороны, то можно с помощью теоремы косинусов найти косинусы углов треугольника, а затем по найденным значениям косинусов найти сами углы.

Задача. Решить треугольник ABC, если AB = 5, AC = 7, ∠A = 35º.

Косинусы и синусы углов
Решение. Требуется найти BC, ∠B и ∠C.

По теореме косинусов

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB * AC * cos A = 25 + 49 – 70 cos 35º.

По таблицам (или с помощью калькулятора) находим приближенное значение косинуса угла в 35º: cos 35º ≈ 0,81915, после чего вычисляем приближенное значение стороны BC: BC ≈ 4,0816. Далее, с помощью теоремы косинусов найдем cos B:

cos B = (AB2 + BC2 – AC2) / (2AB * BC) ≈ –0,17985.

Зная значение cos B, по таблицам находим угол B: ∠B ≈ 100º22'. И наконец, угол C находим с помощью теоремы о сумме углов треугольника: ∠C = 180º – ∠A – ∠B ≈ 44º38'.

Теоремы синусов и косинусов могут использоваться и при доказательстве некоторых теорем, например при доказательстве теоремы о биссектрисе треугольника.

Теорема. Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC (рис. 103). Докажем, что DB/AB = DC/AC.

Биссектриса треугольника

Применяя теорему синусов к треугольнику ABD, приходим к равенству DB/sin ∠1 = AB/sin ∠3, откуда DB/AB = sin ∠1 / sin ∠3.

Аналогично, рассматривая треугольник ACD, получаем:

DC/AC = sin ∠2 / sin ∠4.

Но ∠2 = ∠1 по условию, ∠4 = 180º – ∠3, поэтому sin ∠2 = sin ∠1 и sin ∠4 = sin ∠3. Следовательно, DB/AB = DC/AC. Теорема доказана.