Теорема косинусов

Докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему косинусов.

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB = c, BC = a, CA = b. Докажем, например, что

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A.

Доказательство теоремы косинусов

В треугольнике ABC хотя бы один из углов B и C острый. Пусть, например, острым является угол C. Проведем высоту BH. Возможны три случая.

1. Угол A — острый (рис. 101, а). Из прямоугольного треугольника ABH находим: BH = c sin A, AH = c cos A, поэтому

CH = CA – AH = b – c cos A.

2. Угол A — прямой (рис. 101, б). В этом случае BH = c = c sin A,

CH = b = b – c cos A,

поскольку sin A = 1 и cos A = 0.

3. Угол A — тупой (рис. 101, в). Из прямоугольного треугольника ABH находим: BH = s sin (180º – A) = c sin A, AH = c cos (180º – A) = –c cos A и, следовательно,

CH = CA + AH = b – c cos A.

Итак, во всех трех случаях BH = c sin A, CH = b – c cos A. Применяя к прямоугольному треугольнику BCH теорему Пифагора, получаем

a2 = (b – c cos A)2 + (c sin A)2.

Раскрывая скобки и учитывая основное тригонометрическое тождество, приходим к равенствам

a2 = b2 + c2 (sin2 A + cos2 A) – 2bc cos A = b2 + c2 – 2bc cos A.

Теорема доказана.

Из этой теоремы, в частности, следует, что

  • если косинусы двух углов равны, то равны и сами углы.

В самом деле, пусть cos A = cos A1. Докажем, что ∠A = ∠A1.

Если угол A развернутый, то cos A = –1 = cos A1. Отсюда следует, что угол A1 также развернутый (так как косинус острого, прямого и тупого углов больше –1), т. е. ∠A1 = ∠A.

Если же угол A неразвернутый, то и угол A1 неразвернутый (объясните почему). На сторонах угла A отметим произвольные точки B и C, а на сторонах угла A1 — такие точки B1 и C1, что A1B1 = AB и A1C1 = AC (рис. 102). По теореме косинусов

B1C12 = A1B12 + A1C12 – 2A1B1 * A1C1 * cos A1 =
= AB2 + AC2 – 2AB * AC * cos A = BC2,

откуда B1C1 = BC. Таким образом, треугольники ABC и A1B1C1 равны по трем сторонам, поэтому ∠A = ∠A1, что и требовалось доказать.

Равенство углов по их косинусам

В качестве еще одного следствия из теоремы косинусов получаем уже известную теорему, обратную теореме Пифагора (см. п. 70):

  • если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный.

Пусть стороны a, b, c треугольника ABC связаны равенством a2 = b2 + c2.

По теореме косинусов a2 = b2 + c2 – 2bc cos A. Сопоставляя эти два равенства, получаем: cos A = 0, поэтому ∠A = 90º, и, значит, треугольник ABC — прямоугольный.