Синус и косинус углов от 90º до 180º

Докажем сначала, что
для любого угла α из промежутка 0º < α < 90º справедливы равенства

sin α = 2sin α/2 * cos α/2, cos α = 2cos2 α/2 – 1.     (1)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠A = α, ∠C = 90º. Продолжим катет CA на отрезок AD, равный AB, и проведем высоту AH треугольника ABD (рис. 99, а). Так как треугольник ABD равнобедренный, и его внешний угол при вершине A равен α, то BH = HD и ∠B = ∠D = α/2 (рис. 99, б). Из прямоугольного треугольника ABH находим:

BH = AB * cos α/2.

Следовательно,

BD = 2BH = 2AB * cos α/2.

Синусы и косинусы углов

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник BCD. В этом треугольнике


С другой стороны, в прямоугольном треугольнике ABC

BC = AB * sin α,
CD = AC + AD = AB * cos α + AB.

Приравнивая два полученных выражения для BC, а также для CD, после сокращения на AB приходим к формулам (1). Утверждение доказано.
Теперь, исходя из формул (1), дадим определения синуса и косинуса угла α из промежутка 90º ≤ α < 180º:

  • синусом угла α из промежутка 90º ≤ α < 180º называется число 2sin α/2 * cos α/2;
  • косинусом угла α из промежутка 90º ≤ α < 180º называется число 2cos2 α/2 – 1.

Согласно данному определению для α = 90º получаем:

Определим теперь sin 180º и cos 180º, исходя снова из формул (1):

sin 180º = 2sin 90º * cos 90º = 2 * 1 * 0 = 0,
cos 180º = 2cos2 90º – 1 = 0 – 1 = –1.

Далее, используя формулы приведения и основное тригонометрическое тождество, для любого угла α из промежутка 0º < α < 180º получаем:


Таким образом, для любого угла α из промежутка 0º < α < 180º справедливы равенства

sin(180º – α) = sin α, cos(180º – α) = –cos α;      (2)

как и формулы п. 68, они называются формулами приведения.

Из них, в частности, следует, что синус тупого угла положителен и меньше 1, а косинус тупого угла отрицателен и больше –1. Итак,

  • синус острого, прямого и тупого углов положителен, синус развернутого угла равен нулю;
  • косинус острого угла положителен, прямого угла равен нулю, а косинус тупого и развернутого углов отрицателен.

Из выведенных формул следует также, что для любого α из промежутка 0º < α ≤ 180º имеет место основное тригонометрическое тождество sin2 α + cos2 α = 1.

В самом деле, это равенство справедливо при 0º < α < 90º (п. 68), а также при α = 90º и α = 180º (объясните почему). Если же 90º < α < 180º, то sin2 α + cos2 α = sin2(180º – α) + cos2(180º – α) = 1 (поскольку 0º < 180º – α < 90º).

Замечание 1. Условимся считать, что sin 0º = 0 и cos 0º = 1. Нетрудно проверить (сделайте это самостоятельно), что при этом формулы (1), (2) и основное тригонометрическое тождество будут верны при всех α из промежутка 0º ≤ α ≤ 180º, а формулы приведения из п. 68 — для любого α из промежутка 0º ≤ α ≤ 90º.

Замечание 2. Наряду с синусом и косинусом часто используются еще две функции: tg α = sin α / cos α и ctg α = cos α / sin α. Первая из них называется тангенсом, а вторая — котангенсом; tg α определен для всех α из промежутка 0º ≤ α ≤ 180º, кроме α = 90º (так как при α = 90º знаменатель в формуле, определяющей tg α, обращается в нуль); ctg α определен для всех α из промежутка 0º < α < 180º (если α = 0º или α = 180º, то ctg α не определен, поскольку sin α = 0). Отметим также, что

  • тангенс острого угла положителен, тангенс тупого угла отрицателен, tg 0º = tg 180º = 0;
  • котангенс острого угла положителен, прямого угла равен нулю, а котангенс тупого угла отрицателен.

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла α называют тригонометрическими функциями этого угла.

Тангенс и котангенс