Косинус острого угла

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе. Косинус острого угла α прямоугольного треугольника обозначается символом cos α (читается «косинус альфа»).

На рисунке 89 катет AC является прилежащим к углу A, поэтому косинус угла A равен отношению AC/AB, т. е.

cos A = AC/AB.

Косинус угла

Докажем, что

  • если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то косинусы этих углов равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и A1B1C1 с прямыми углами C и C1 и равными острыми углами A и A1 (рис. 90). Докажем, что cos A = cos A1, т. е.

AC/AB = A1C1/A1B1.

Косинусы равных углов равны

Пусть, например, A1B1 < AB пусть отношение отрезка AB к отрезку A1B1 выражается десятичной дробью n,n1n2... . Это означает, что отрезок AB можно разбить точками M1, M2, … на такие отрезки (см. рис. 90), что каждый из первых n отрезков равен отрезку A1B1, каждый из следующих n1 отрезков равен 1/10 A1B1 и т. д.

Из концов этих отрезков проведем перпендикуляр M1H1, M2H2, … к прямой AC.

Прямоугольные треугольники AM1H1 и A1B1C1 равны по гипотенузе (AM1 = A1B1) и острому углу (∠A = ∠A1), поэтому AH1 = A1C1.

Согласно замечанию из п. 42 первые n отрезков, на которые точки H1, H2, … разбивают отрезок AC, равны отрезку A1C1, следующие n1 отрезков равны 1/10 A1C1 и т. д. Таким образом, отношение отрезка AC к отрезку A1C1 выражается той же десятичной дробью n,n1n2..., что и отношение отрезка AB к отрезку A1B1:

AC/A1C1 = AB/A1B1.

Отсюда следует пропорция AC/AB = A1C1/A1B1, что и требовалось доказать.