Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Теорема. Два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо составляют в сумме 180º.

Доказательство. Рассмотрим углы AOB и A1O1B1 с соответственно параллельными сторонами: OA || O1A1, OB || O1B1. Докажем, что эти углы либо равны, либо составляют в сумме 180º.

Углы с соответственно параллельными сторонами

Если угол AOB развернутый, т. е. лучи OA и OB лежат на одной прямой, то угол A1O1B1 также развернутый, поэтому ∠AOB = ∠A1O1B1.

Пусть угол AOB неразвернутый (рис. 23). Так как прямая OB пересекает прямую OA (в точке O), то она пересекает и прямую O1A1, параллельную прямой OA, в некоторой точке C. При этих пересечениях образовалось по четыре неразвернутых угла с вершинами O и C, причем любой из четырех углов с вершиной O и любой из четырех углов с вершиной C либо равны, либо составляют в сумме 180º (объясните почему).

Аналогично в силу параллельности прямых OB и O1B1 любой из четырех неразвернутых углов с вершиной C и любой из четырех неразвернутых углов с вершиной O1 (см. рис. 23) либо равны, либо составляют в сумме 180º.

Замечание. Если угол AOB прямой, то угол A1O1B1 также прямой, поэтому они одновременно и равны, и составляют в сумме 180º.

Следствие. Два угла с соответственно перпендикулярными сторонами либо равны, либо составляют в сумме 180º.

Рассмотрим углы AOB и A1O1B1 с соответственно перпендикулярными сторонами: OA ⊥ O1A1, OB ⊥ O1B1.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами

Если угол AOB развернутый, то угол A1O1B1 также развернутый, поэтому ∠AOB = ∠A1O1B1.

Пусть AOB неразвернутый. Из какой-нибудь точки M, не лежащих на прямых O1A1 и O1B1, биссектрисы угла AOB проведем перпендикуляры MH и MK к сторонам этого угла (рис. 24). Прямоугольные треугольники OMH и OMK равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, ∠OMH = ∠OMK, ∠HOK + ∠HMK = 2(∠HOM + ∠HMO) = 2 · 90º = 180º, т. е. ∠AOB + ∠HMK = 180º.

Стороны углов ∠A1O1B1 и ∠HMK соответственно параллельны (докажите это), поэтому либо ∠A1O1B1 + ∠HMK = 180º, либо ∠A1O1B1 = ∠HMK. В первом случае ∠AOB = ∠A1O1B1, во втором случае ∠AOB + ∠A1O1B1 = 180º, что и требовалось доказать.