Выпуклый многоугольник

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков A1A2, A2A3, …, An-1An так, что смежные отрезки, т. е. A1A2 и A2A3, A2A3 и A3A4, …, не лежат на одной прямой. Точки A1 и An могут быть различными (рис. 38, а), а могут совпадать (рис. 38, б). Такая фигура, составленная из отрезков, называется ломаной. Если точки A1 и An совпадают, то ломаная называется замкнутой (см. рис. 38, б), а отрезки An-1An и A1A2 также считаются смежными.

Ломаные

Два смежных отрезка ломаной имеют общий конец. Ломаная называется простой, если ее несмежные отрезки не имеют общих точек. Ломаные на рисунках 38, а, б — простые, а ломаная на рисунке 38, в не является простой.

Простая замкнутая ломаная называется многоугольником. Отрезки, из которых составлен многоугольник, называются его сторонами, а концы сторон — вершинами многоугольника. Многоугольник с n вершинами A1, A2, …, An называется n-угольником и обозначается A1A2...An. Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника. Примерами многоугольников являются треугольник и четырехугольник.

На рисунках 39, а, б изображены четырехугольник ABCD и шестиугольник A1A2A3A4A5A6. Ломаная B1B2B3B4B5B1, изображенная на рисунке 39, в, не является многоугольником, так как эта ломаная хотя и замкнутая, но не является простой.

Многоугольники и немногоугольник

Две вершины многоугольника, являющиеся концами одной стороны, называются соседними. Отрезок, соединяющий две вершины, не являющиеся соседними, называется диагональю многоугольника (рис. 40).

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

Четырехугольник ABCD на рисунке 41 описан около окружности с центром O, а четырехугольник ABPQ не является описанным около этой окружности, так как сторона PQ не касается окружности.

Вписанный и описанный многоугольники

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность. Четырехугольник ABCD на рисунке 42 вписан в окружность с центром O, а четырехугольник AMCD и AKCD не являются вписанными в эту окружность, так как вершины M и K не лежат на окружности.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Многоугольник Ф1 на рисунке 43 — выпуклый, а многоугольник Ф2 — невыпуклый.

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Рассматривая различные многоугольники, можно заметить, что каждый многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника. (Доказать это утверждение непросто; см., например, [3] и [11].) На рисунке 44 внутренние области многоугольников закрашены. Углы AnA1A1, A1A2A3, …, An-1AnA1 выпуклого многоугольника A1A2A3...An называются углами многоугольника (рис. 45). Внутренняя область выпуклого многоугольника — это общая часть внутренних областей всех его углов. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Сумма углов многоугольника

Найдем сумму углов выпуклого n-угольника. Соединив одну из его вершин диагоналями с другими вершинами, получим n-2 треугольника (см. рис. 45), сумма углов которого равна сумме углов данного n-угольника. Поскольку сумма углов каждого треугольника равна 180, то сумма углов n-угольника равна (n – 2) · 180º. Таким образом,

  • сумма углов выпуклого n-угольника равна (n – 2) · 180º.

Отсюда следует, что если при каждой вершине выпуклого многоугольника взято по одному внешнему углу (т. е. углу, смежному с углом многоугольника), то сумма этих внешних углов равна 360º (докажите это).

При выводе формулы суммы углов выпуклого n-угольника мы исходили из того, что:

  • диагонали выпуклого n-угольника, проведенные из одной вершины, разделяют его на n – 2 треугольника.

Доказательство этого наглядно очевидного утверждения можно найти, например, в [3]. Там же доказано, что

  • многоугольник, вписанный в окружность, является выпуклым;
  • многоугольник, описанный около окружности, является выпуклым.
Математика: