О построении треугольника по трем сторонам

Вернемся к вопросу, поставленному еще в 7 классе: всегда ли можно построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам, если каждый из данных отрезков меньше суммы двух других?

Пусть данные отрезки равны a, b и c (рис. 104, а). Чтобы построить треугольник со сторонами, равными этим отрезкам, поступим так: на произвольной прямой отложим отрезок AB, равный c, и проведем две окружности – с центром A радиуса b и с центром B радиуса a. Если эти окружности пересекутся в некоторой точке C (рис. 104, б), то треугольник ABC искомый. Докажем, что указанные окружности пересекутся.

построение треугольника по трем сторонам

Пусть, например, a ≤ b ≤ c и c < a + b (тогда каждый из данных отрезков меньше суммы двух других).

Заметим, что если искомый треугольник ABC существует и CH — его высота (рис. 104, в), то
AH = b cos A = (b2 + c2 – a2) / 2c
(так как a2 = b2 + c2 – 2bc cos A). Для данных отрезков с длинами a, b и c введем величину
l = (b2 + c2 – a2) / 2c.

Она удовлетворяет неравенствам 0 < l < b (докажите это).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH с гипотенузой AC = b и катетом AH = l. На луче AH отложим отрезок AB = c (рис. 104, г). Треугольник ABC — искомый. Действительно, AB = c и AC = b по построению, а так как

cos A = l/b = (b2 + c2 – a2) / (2bc),

то

BC2 = b2 + c2 – 2bc cos A = a2, т. е. BC = a.

Таким образом, если каждый из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то существует треугольник, стороны которого равны данным отрезкам, и его можно построить так, как показано на рисунке 104, б.