Описанная окружность

Если все вершины треугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольника, а треугольник называется вписанным в окружность. Докажем теорему об окружности, описанной около треугольника.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC (рис. 35, а). Докажем сначала, что окружность с центром O радиуса OA является описанной около треугольника ABC.

Описанная около треугольника окружность

Точка O равноудалена от вершин треугольника ABC (п. 48), т. е. OA = OB = OC. Поэтому окружность с центром O радиуса OA проходит через точки A, B, C (рис. 35, б) и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.

Докажем теперь, что около треугольника можно описать только одну окружность. Тогда центр каждой из них равноудален от вершин треугольника и, следовательно, совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам; радиус каждой окружности равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Таким образом, центры и радиусы этих окружностей совпадают, поэтому совпадают и сами окружности. Теорема доказана.