Взаимное расположение двух окружностей

Исследуем взаимное расположение двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 в зависимости от расстояния d между их центрами (рис. 105). Для определенности будем считать, что радиус первой окружности не меньше радиуса второй окружности (r1 ≥ r2). Рассмотрим все возможные случаи.

1. d > r1 + r2 (рис. 105, а), т. е. d – r2 > r1. Поскольку для каждой точки A второй окружности в соответствии с неравенством треугольника выполняется неравенство O1A + r2 ≥ d (здесь знак равенства соответствует тому случаю, когда точка A лежит на отрезке O1O2), то O1A ≥ d – r2 > r1. Следовательно, все точки второй окружности лежат вне круга, ограниченного первой окружностью. В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.

2. d = r1 + r2 (рис. 105, б), т. е. d – r2 = r1. Так как для каждой точки A второй окружности O1A + r2 ≥ d, то O1A ≥ d – r2 = r1, причем знак равенства имеет место только в том случае, когда точка A лежит на отрезке O1O2. Следовательно, наши окружности имеют единственную общую точку, а все остальные точки второй окружности лежат вне круга, ограниченного первой окружностью. В этом случае говорят, что окружности касаются друг друга извне.

Взаимное расположение окружностей

3. r1 – r2 < d < r1 + r2 (рис. 105, в). Рассмотрим треугольник AO1O2 со сторонами AO1 = r1, AO2 = r2 и O1O2 = d (поскольку d < r1 + r2, r1 < d + r2, r2 ≤ r1 < d + r1, то согласно результату п. 76 такой треугольник существует). Так как O1A = r1 и O2A = r2, то точка A является общей точкой данных окружностей, причем она не лежит на прямой O1O2. Точка B, симметричная точке A относительно прямой O1O2, также является общей точкой этих окружностей (объясните почему). Других общих точек данные окружности не имеют. В самом деле, если бы они имели еще одну общую точку C, то около треугольника ABC оказались бы описанные две окружности, чего не может быть. Таким образом, в рассматриваемом случае окружности пересекаются в двух точках.

Еще два случая возможны только при r1 ≠ r2.

4. d = r1 – r2 (рис. 105, г), т. е. d + r2 = r1. В соответствии с неравенством треугольника для каждой точки A второй окружности O1A ≤ d + r2 = r1, причем знак равенства возможен только в том случае, когда точка O2 лежит на отрезке O1A. Следовательно, данные окружности имеют единственную общую точку, а все остальные точки второй окружности лежат внутри круга, ограниченного первой окружностью. В этом случае говорят, что окружности касаются друг друга изнутри.

5. d < r1 – r2 (рис. 105, д), т. е. d + r2 < r1. Так как для каждой точки A второй окружности O1A ≤ d + r2 < r1, то все точки второй окружности лежат внутри круга, ограниченного первой окружностью. В этом случае говорят, что одна окружность лежит внутри другой. В частности, если центры окружностей совпадают (случай d = 0), то окружности называются концентрическими.

Концентрические окружности

Математика: