Теорема о пересечении биссектрис треугольника

В этом пункте мы вернемся к одному из вопросов, возникших в 7 классе: верно ли, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке? Теперь можно ответить на этот вопрос.

Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения биссектрис AA1 и BB1 треугольника ABC (рис. 31, а). Докажем, что точка O лежит на биссектрисе CC1.

Биссектрисы треугольника

Проведем из точки O перпендикуляры OD, OE и OF соответственно к прямым AB, BC и CA (рис. 31, б). По теореме о биссектрисе угла OD = OF и OD = OE, поэтому OF = OE. Таким образом, точка O равноудалена от сторон угла ACB и, значит, лежит на биссектрисе CC1 этого угла. Тем самым все три биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Теорема доказана.