Об аксиомах и основных понятиях геометрии

Основные понятия. Ранее (и. 45) мы говорили о том, что не все утверждения можно доказать. Некоторые из них, самые очевидные, принимаются в качестве исходных положений (аксиом), а затем уже на их основе доказываются теоремы и вообще строится вся геометрия В связи с этим возникает вопрос можно ли дать определения всем понятиям, которыми мы пользуемся в геометрии? Например, отрезком АВ мы назвали геометрическую фигуру, состоящую из двух данных точек А и В и всех точек прямой АВ, лежащих между точками А и В. Таким образом, отрезок определяется с помощью трех понятий. «точка», «прямая», «лежать между». А что такое точка? Можно, конечно, сказать: «Точка – это то, что не имеет размеров». Но иногда сразу возникает вопрос: а что такое размеры? И если даже мы сумеем дать определение этому понятию, то в нем обязательно будут использоваться другие понятия, которые, в свою очередь, также нуждаются в определениях. Ясно, что эта цепь должна иметь начало (подобно тому как цепь вытекающих друг из друга теорем имеет своим началом аксиомы). Таким началом являются понятия, определения которым не даются, – они называются основными понятиями, а их свойства описываются аксиомами. Можно сказать тем самым, что основные понятия как бы определяются аксиомами.

Основные понятия и аксиомы образуют фундамент для построения геометрии: опираясь на них, мы даем определения новых понятий, формулируем и доказываем теоремы и таким образом строим геометрию. Совокупность основных понятий и аксиом планиметрии называют системой аксиом планиметрии.

Система аксиом планиметрии. В нашем курсе основных понятий четыре: точка, прямая, наложение и понятие лежать между для трех точек одной прямой. Их свойства описываются пятнадцатью аксиомами.

1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. (Такие понятия, как «принадлежать», «множество», «отображение» и т. д., относятся не только к геометрии, но и к другим разделам математики, поэтому мы не относим их к числу основных понятий геометрии.)

2. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Подчеркнем, что предложение «точка В лежит между точками А и С» подразумевает, что А, В, С – различные точки прямой и точка В лежит также между С и А. Иногда вместо этих слов мы будем говорить: «точки А и В лежат по одну сторону от точки С», «точки В и С лежат по одну сторону от точки А» или «точки А и С лежат по разные стороны от точки В».

Если каждой точке М плоскости сопоставлена некоторая точка М1, и при этом каждая точка М1 оказывается сопоставленной некоторой точке М, то говорят, что задано отображение плоскости на себя.

5. Любое наложение является отображением плоскости на себя. Если существует наложение, при котором фигура Ф (под фигурой мы понимаем произвольное множество точек) отображается на фигуру Ф1, то будем говорить, что фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф1 или что фигура Ф равна фигуре Ф1.

6. Любая фигура равна самой себе.

7. Если фигура Ф1 равна фигуре Ф3 и фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф2.

В качестве следствия из аксиом 6 и 7 получаем:

  • если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, то фигура Ф2 равна фигуре Ф1.

В самом деле, согласно аксиоме 7 из равенств Ф2 = Ф2 (аксиома 6) и Ф1 = Ф2 следует, что Ф2 = Ф1.

8. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

Если отрезок АВ и прямая a не имеют общих точек, лежащих между А и В, то будем говорить, что точки А и В лежат по одну сторону от прямой a; если же отрезок АВ пересекает прямую a (или, что то же самое, прямая a пересекает отрезок АВ), т. е. они имеют общую точку, лежащую между А и В, то будем говорить, что точки А и В лежат по разные стороны от прямой a.

9. Каждая прямая a разделяет множество точек плоскости, не лежащих на этой прямой, на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой a, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой a.

Прямая a называется границей каждой из указанных полуплоскостей; ее точки не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей.

Аксиома 9 позволяет доказать следующее утверждение:

  • каждая точка О прямой a разделяет множество ее точек, отличных от О, на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О; сама же точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.

Рассмотрим прямую a, на которой отмечена точка О, и произвольную точку М, не лежащую на прямой a (аксиома 2).

Через точки О и М проходит прямая (аксиома 3) – обозначим ее буквой b (рис. 126, а). Прямая b разделяет множество точек плоскости, не лежащих на этой прямой, на две полуплоскости (аксиома 9), и тем самым все точки прямой a (за исключением точки О) разделяются на две части: одна часть точек прямой a лежит в одной полуплоскости, а другая– в другой.

Если точки А и В принадлежат одной из этих частей прямой a, то они лежат в одной полуплоскости с границей b, а это означает, что отрезок АВ не имеет общих точек с прямой b и, следовательно, не содержит точку О (рис. 126, б). Иными словами, точки А и В лежат по одну сторону от точки О.

Если же точки А и С принадлежат разным частям прямой a, то они лежат в разных полуплоскостях с границей b, т. е. отрезок АС пересекается с прямой в точке О, лежащей между А и С, а это означает, что точки А и С лежат по разные стороны от точки О (см. рис. 126, б). Утверждение доказано.

Из наших рассуждений следует также, что

  • если точка О лежит на прямой b, а точка А не лежит на этой прямой, то все точки луча ОА лежат в одной полуплоскости с границей b (см. рис. 126, б).

10. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

Иными словами, если даны какой-нибудь луч h с началом О и какой-нибудь отрезок АВ, то на луче h существует, и притом только одна, такая точка М, что отрезок ОМ равен отрезку АВ.

Из сформулированных аксиом можно получить следствие:

  • на каждом луче существует хотя бы одна точка.

В самом деле, рассмотрим луч h прямой a с началом О. На прямой a есть хотя бы одна точка А, отличная от О (аксиома 1). Если точка А лежит на луче h, то существование хотя бы одной точки на этом луче доказано. Если же точка А не лежит на луче h, то поступим так: на луче h от точки О отложим отрезок ОВ, равный ОА (аксиома 10). Тогда точка В будет лежать на луче h, что и доказывает утверждение.

Из этого утверждения следует, что

  • на каждом луче есть бесконечное множество точек (докажите это самостоятельно).

Следующие три аксиомы связаны с понятием угла – фигуры, состоящей из точки и двух исходящих из нее лучей.

11. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Это означает, что если даны какая-то полуплоскость с границей ОА и какой-то неразвернутый угол hk, то в данной полуплоскости существует, и притом только один, такой луч ОВ, что угол АОВ равен углу hk.

12. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h1k1 двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом h1, а луч k – с лучом k1; 2) так, что луч h совместится с лучом k1, а луч k – с лучом h1.

13. Для любых двух отрезков существует прямоугольник (т. е. выпуклый четырехугольник, все углы которого прямые), две смежные стороны которого равны этим отрезкам.

Систему аксиом планиметрии завершают две аксиомы, связанные со сравнением отрезков.

14. Для любого множества точек отрезка, содержащего не менее двух точек, существует наименьший отрезок„содержащий все точки данного множества.

Иными словами, существует такой отрезок АВ, что все точки данного множества ему принадлежат, а для любого отрезка СD), меньшего АВ (процедура сравнения отрезков описана в учебнике «Геометрия, 7»), в данном множестве найдется хотя бы одна точка, не принадлежащая отрезку СD.

Рассмотрим произвольный отрезок АВ. На продолжении луча ВА (т. е. на луче с началом В прямой АВ, отличном от луча АВ) отложим отрезок ВВ1 = АВ, на продолжении луча В1А отложим отрезок В1В2 = АВ, ..., на продолжении луча Вn-1А – отрезок Вn-1Вn = АВ (рис. 127). Будем говорить, что отрезок ВBn в n раз больше отрезка АВ, и записывать это так: BBn = nАВ.

15. Для любых двух отрезков АВ и СD существует такое натуральное число и, что nАВ > СD.

Эту аксиому связывают с именем древнегреческого ученого Архимеда (ок. 287 – 212 до н. э.). Отметим, что аксиома Архимеда позволяет осуществить процесс измерения отрезков, описанный в пункте 66.

Как мы уже видели, опираясь на аксиомы, можно доказывать утверждения, не привлекая наглядные представления о свойствах геометрических фигур.
Приведем еще несколько примеров. При этом рисунки, если и будут использоваться, то лишь для облегчения восприятия проводимых рассуждений, а не как средство доказательства.

Задача 1
Доказать, что если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит через точку внутренней области этого угла, то все точки луча лежат во внутренней области угла.

Решение
Рассмотрим луч ОM, проходящий через точку М внутренней области угла АОВ. Напомним, что внутренняя область угла АОВ– это общая часть двух полуплоскостей – полуплоскости с границей ОА, содержащей точку В, и полуплоскости с границей ОВ, содержащей точку А.

Поскольку точка М принадлежит полуплоскости с границей ОА, содержащей точку В, то, как отмечалось в этом пункте, все точки луча ОМ также принадлежат этой полуплоскости. По той же причине все точки луча ОМ принадлежат полуплоскости с границей ОВ, содержащей точку А. Таким образом, все точки луча ОМ принадлежат общей части указанных полуплоскостей, т. е. принадлежат внутренней области угла АОВ, что и требовалось доказать.

Задача 2
Доказать, что если прямая a пересекает сторону АВ треугольника АВС и не проходит через вершину этого треугольника, то она пересекает либо сторону ВС, либо сторону АС.

Решение
Прямая a разделяет плоскость на две полуплоскости (аксиома 9), причем точки А и В лежат в разных полуплоскостях. Если точка С лежит в той же полуплоскости, что и точка А, то точки В и С лежат в разных полуплоскостях, и тогда прямая a пересекает отрезок ВС и не пересекает отрезок АС.
Аналогично, если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой В, то прямая a пересекает отрезок АС и не пересекает отрезок ВС. Утверждение доказано.

Задача 3
Доказать, что если точка M лежит во внутренней области неразвернутого угла AOB, то луч OM пересекает отрезок AB.

Решение
Рассмотрим луч ОС, являющийся продолжением луча ОА, и луч ОD, являющийся продолжением луча ОМ (рис. 128). Прямая РМ пересекает сторону АС треугольника АВС в точке О и не проходит через его вершину. Следовательно, она пересекает либо сторону АВ, либо сторону ВС (см. задачу 2). Докажем, что она пересекает сторону АВ, причем точка пересечения лежит на луче ОМ. Тем самым утверждение будет доказано.

Так как точки М и С лежат в разных полуплоскостях с границей ОВ, то лучи ОМ и ВС также лежат в разных полуплоскостях с границей ОВ, и поэтому луч ОМ не пересекается с отрезком BC. Аналогично, плоскостях с границей полуплоскостях с грани отрезком ВС. Аналогично, луч OD не пересекается с отрезками ВС и АВ. Таким образом, прямая ВМ не пересекается с отрезком ВС, а пересекается с отрезком АВ и точка пересечения лежит на луче ОМ, что и требовалось доказать.

Задача 4
Доказать, что диагонали четырехугольника пересекаются тогда и только тогда, когда этот четырехугольник выпуклый.

Решение
Докажем сначала, что если диагонали АС и ВD четырехугольника АВСD пересекаются в некоторой точке О, то этот четырехугольник выпуклый, т. е. лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.

Рассмотрим, например, сторону АВ (для остальных сторон доказательство аналогичное). Точки С и D лежат соответственно на лучах АО и ВО (рис. 129), поэтому они лежат в одной полуплоскости с границей АВ (в той, в которой лежит точка О). Отсюда следует, что и весь четырехугольник АВСD (за исключением, разумеется, стороны АВ) лежит в этой полуплоскости, т. е. лежит по одну сторону от прямой АВ, что и требовалось доказать.


Докажем теперь, что диагонали АС и ВD выпуклого четырехугольника АВСD пересекаются. Точка С лежит во внутренней области угла ВАD (объясните почему). Следовательно, луч АС пересекает отрезок ВD в некоторой точке О (задача 3). По аналогичной причине луч DВ пересекает отрезок АС. Ясно, что точкой их пересечения является та же самая точка О. Итак, точка О – общая точка отрезков АС и ВD, т. е. диагонали АС и ВD пересекаются в точке О.

Из доказанного утверждения следует, что

  • диагонали невыпуклого четырехугольника не пересекаются (иначе он был бы выпуклым).

Задача 5
Доказать, что в любом четырехугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Решение
Если четырехугольник АВСD выпуклый, то, как было доказано, его диагонали АС и ВD пересекаются (см. рис. 129) и, следовательно, отрезок АС пересекает прямую ВD. Это и означает, что противоположные вершины А и С лежат по разные стороны от прямой ВD. Аналогично, противоположные вершины В и D лежат по разные стороны от прямой АС.

Если же четырехугольник АВСD невыпуклый, то найдется прямая, содержащая сторону четырехугольника и пересекающая противоположную сторону. Пусть, например, прямая АВ пересекает сторону СD в точке М. Тогда точка М не лежит на отрезке АВ (в противном случае пересекались бы стороны АВ и СD), поэтому возможны только два случая:

1. Точка В лежит на отрезке АМ (рис. 130, а). В этом случае точки А и М лежат по разные стороны от прямой ВD, а так как точка С лежит на луче DМ, то она лежит по ту же сторону от прямой ВD, что и точка М. Итак, вершина А лежит по одну сторону от прямой ВD, а противоположная вершина С – по другую сторону от этой прямой. Следовательно, противоположные вершины А и С лежат по разные стороны от прямой ВD.

2. Точка А лежит на отрезке ВМ (рис. 130, б). В этом случае, так же как и в случае 1, можно доказать (сделайте это самостоятельно), что противоположные вершины В и D лежат по разные стороны от прямой АС.

В любом четырехугольнике имеется по крайней мере одна диагональ, которая разделяет его на два треугольника. В выпуклом четырехугольнике этим свойством обладают обе диагонали (см. рис. 129), а в невыпуклом – только одна из диагоналей (см. рис, 130).

Замечание 1. При доказательстве некоторых утверждений (например, теоремы о перпендикуляре к прямой и теоремы о противоположных сторонах прямоугольника) мы использовали термин «перегибание плоскости по прямой». При этом мы исходили из наглядных представлений о перегибании плоскости рисунка. С точки зрения аксиом перегибание плоскости по прямой представляет собой наложение, которое определяется следующим образом. Рассмотрим произвольную прямую a. На ней есть по крайней мере две точки (аксиома 1) – обозначим их буквами А и В. Кроме того, существует по крайней мере одна точка, не лежащая на прямой а (аксиома 2) – обозначим ее буквой С. Прямая a разделяет плоскость на две полуплоскости (аксиома 9). В ту из них, которая не содержит точки С (рис. 131), отложим от луча АВ угол ВАD, равный углу ВАС (аксиома 11). Согласно аксиоме 12 существует такое наложение, при котором луч АВ накладывается на луч АВ (т. е. луч АВ остается на месте), а луч АС накладывается на луч АD. Это наложение и называется перегибанием плоскости по прямой a. Оно вполне соответствует нашим наглядным представлениям о перегибании плоскости рисунка.

Отметим, что похожая идея использовалась при доказательстве трех теорем о равнобедренном треугольнике. Попытайтесь разобраться самостоятельно, на каких аксиомах была основана эта идея.

Замечание 2. При доказательстве ряда теорем (например, теоремы о противоположных сторонах прямоугольника) мы исходили из того, что любой отрезок имеет середину, а любой угол – биссектрису. Докажем эти утверждения. Начнем со второго.

Рассмотрим произвольный неразвернутый угол с вершиной О (существование биссектрисы развернутого угла вытекает, например, из теоремы о перпендикуляре к прямой) и на его сторонах отложим равные отрезки ОА и ОВ. Из точки О проведем перпендикуляр ОН к прямой АВ. Отрезок ОН, будучи высотой равнобедренного треугольника ОАВ, является его биссектрисой. Следовательно, луч ОН – биссектриса данного угла.
Рассмотрим теперь произвольный отрезок АВ и докажем, что он имеет середину.

В одну из полуплоскостей с границей АВ отложим прямые углы АВС и ВАD (рис. 132). Поскольку точка С лежит во внутренней области угла ВАD, то ∠ВАС < ∠BAD = 90º.

Отложим от луча BA в рассматриваемую полуплоскость угол ABE, равный углу BAC. Так как ∠ABE = ∠BAC < 90º, то точка E лежит во внутренней области угла ABC, поэтому (см. задачу 3) луч BE пересекает отрезок AC в некоторой точке M.

Из точки M проведем перпендикуляр MH к прямой AB. Точка H — середина отрезка AB. В самом деле, углы A и B треугольники AMB равны, поэтому этот треугольник равнобедренный. Отрезок MH — его высота и, следовательно, медиана. Это и означает, что точка H — середина отрезка AB. Утверждение доказано.

О числах. Аксиомы геометрии являются основой одного из способов введения понятия вещественного числа и позволяют доказать утверждения о правилах действий с вещественными числами. Интересующиеся могут прочитать об этом в книге [3]. Здесь же мы опишем лишь общую идею приведенных там рассуждений.

Возьмем какой-нибудь луч ОЕ и назовем каждую его точку А положительным вещественным числом. Для различных чисел А и В введем правило сравнения: А < B, если OA < OB. Далее введем сумму A + B так: на продолжении луча AO отложим отрезок AC, равный OB, и скажем, что C = A + B. Чтобы ввести произведение A * B, поступим следующим образом. Пользуясь аксиомой 15, измерим отрезок OA с помощью отрезка OE (см. п. 66), т. е. выразим длину отрезка OA при единице измерения OE конечной или бесконечной десятичной дробью a = n,a1a2..., которую назовем десятичной записью числа A. В свою очередь, из аксиомы 14 следует, что для любой точки M луча OE и любой десятичной дроби x (если только она не является периодической дробью, период которой состоит из одной цифры 9) на луче OE существует единственная точка X, для которой длина отрезка OX при единице измерения OE выражается дробью x. Возьмем теперь произведение числа (т. е. точки) A и B с десятичными записями a и b, построим отрезок OC, длина которого при единице измерения ОА равна b, и назовем точку С произведением А * В. Для завершения построения вещественных чисел осталось назвать точку О нулем, точки продолжения луча ОЕ – отрицательными вещественными числами, а затем доопределить операции сравнения, сложения и умножения на всю прямую ОЕ так, как это делалось в курсе алгебры.

О взаимном расположении прямой и окружности. При рассмотрении взаимного расположения прямой и окружности мы в некоторых случаях опирались на наглядные представления о свойствах окружности. Теперь мы можем восполнить этот пробел.

Рассмотрим окружность с центром О радиуса r и прямую p, не проходящую через точку О. Проведем из точки О перпендикуляр ОН к прямой p (рис. 133) и обозначим длину этого перпендикуляра, т. е. расстояние от точки О до прямой p, буквой d. Мы помним, что если d > r, то прямая и окружность не имеют общих точек (рис. 133, а), а если d = r, то прямая и окружность имеют только одну общую точку (рис. 133, б). Доказательства этих утверждений были приведены в учебнике «Геометрия, 7». В случае же d < r требуются более аккуратные рассуждния. Проведем их.

Поскольку OH = d < r, то точка H лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью. Отметим на прямой p точку D, для которой DH = r (рис. 133, в). Гипотенуза OD прямоугольного треугольника DOH больше катета DH, поэтому OD > r, а значит, точка D лежит вне круга, ограниченного данной окружностью. Таким образом, один конец отрезка DН (точка Н) лежит внутри указанного круга, а волгой (точка D) – вне этого круга.

Рассмотрим множество всех точек M отрезка HD, для которых OM < r. Согласно аксиоме 14 существует наименьший отрезок HA, содержащий все указанные точки. Докажем, что OA = r.

Допустим, что ОА < r, т. е. OA = r – x, где x > 0. Отложим на луче НА отрезок НС = НА + x/2 и воспользуемся неравенством треугольника применительно к треугольнику ОАС (рис. 134, а):

OC < OA + AC = OA + x/2 = r – x + x/2 = r – x/2 < r.

Следовательно, точка C должна лежать на отрезке HA, но по построению она лежит вне этого отрезка. Полученное противоречие означает, что OA ≥ r.

Если предположить, что ОА > r, то путем аналогичных рассуждений (проведите их самостоятельно) придем к противоречию с предположением о том, что НА – наименьший отрезок, содержащий все точки М отрезка НD, для которых ОМ < r. Следовательно, OA = r, т. е. точка A является общей точкой прямой p и окружности. Теперь нетрудно доказать (см. учебник «Геометрия, 7»), что в рассматриваемом случае прямая p и данная окружность имеют ровно две общие точки (точки A и B на рисунке 134, б).

Математика: