Об аксиомах геометрии

В учебнике 7 класса при доказательстве утверждения о сумме острых углов прямоугольного треугольника мы исходили из того, что существует прямоугольник, две смежные стороны которого равны данным отрезкам. А откуда следует, что такой прямоугольник существует? Чтобы ответить на этот вопрос, попытаемся построить прямоугольник с заданными сторонами a и b.

Рассмотрим отрезок AD длины a (рис. 25). Через точку A под прямым углом к прямой AD проведем луч h и отложим на нем отрезок AB, равный b. Через точку B под прямым углом к лучу h проведем прямую p, а через точку D под прямым углом к прямой AD проведем прямую q. Наше построение завешено, но что мы получили?

Существование прямоугольника

Если прямые p и q пересекутся в некоторой точке C, то мы получим четырехугольник ABCD с прямыми углами A, B и D. Но откуда следует, что угол C четырехугольника будет прямым? Ведь наше доказательство этого утверждения в 7 классе (вспомните его) как раз и основывалось на существовании прямоугольника. А может быть, прямые p и q не пересекутся, т. е. окажутся параллельными. Тогда даже четырехугольника не получится.

Таким образом, вопрос о существовании прямоугольника с двумя заданными смежными сторонами остается пока открытым, и мы ответим на него чуть позже. Наряду с этим возникает и еще ряд вопросов, связанных с доказательством теорем. В наших доказательствах мы опирались, как правило, на доказанные ранее теоремы. Естественно поставить вопрос: а на чем основаны доказательства самых первых теорем геометрии, рассмотренных нами? Вспомним, например, доказательство теоремы:

  • из точки, не лежащей на прямой, нельзя провести два перпендикуляра к этой прямой.

Мы предположили, что из точки A можно провести два перпендикуляра к данной прямой, мысленно перегнули плоскость по этой прямой, отметили точку B, на которую наложилась точка A, и обнаружили, что через точки A и B проходят две прямые, чего не может быть. Таким образом, мы исходили из того, что

  • через две точки проходит только одна прямая.

А как доказать это утверждение? Едва ли кто-то отважится его отрицать, но как его доказать — непонятно.

Всё это наводит на мысль, что если каждое доказательство должно на что-то опираться, то не все утверждения можно доказать. Некоторые из них, самые очевидные, следует принять в качестве исходных положений, а затем уже на их основе доказывать теоремы и вообще строить всю геометрию. Такие исходные положения называются аксиомами.

Например, аксиомами являются утверждения:

  • на каждой прямой имеются точки;
  • имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой;
  • через любые две точки проходит прямая, и притом только одна (эта аксиома была сформулирована еще в 7 классе).

Мы видим, что все эти аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений. Полный список аксиом планиметрии содержится в конце книги.

Аксиома

Отметим, что такой подход к построению геометрии, когда сначала формулируются исходные положения — аксиомы, а затем на их основе путем рассуждений доказываются другие утверждения, зародился еще в глубокой древности и нашел воплощение в знаменитом сочинении «Начала» древнегреческого ученого Евклида [7]-[9]. Геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией.

Вернемся теперь к вопросу о существовании прямоугольника. В «Началах» Евклида содержится аксиома (пятый постулат Евклида), которая гласит:

  • если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов меньше 180º, то эти прямые пересекаются по ту сторону от секущей, по которую расположены указанные углы.

В современных учебниках пятый постулат часто заменяют другой, равносильной ему, но более простой по формулировке аксиомой (ее называют аксиомой параллельных прямых):

  • через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Опираясь на это утверждение, можно доказать, что прямоугольник, две смежные стороны которого равны данным отрезкам, существует. С другой стороны, французский математик А. К. Клеро (1713-1765) доказал, что из существования хотя бы одного прямоугольника следует аксиома параллельных прямых. В нашем курсе используется такая аксиома:

  • для любых двух отрезков существует прямоугольник, две смежные стороны которого равны этим отрезкам.

Поэтому утверждение, названное аксиомой параллельных прямых, у нас не является аксиомой, а доказывается как теорема. Вообще для построения геометрии можно использовать различные системы аксиом. Например, как установил французский математик А. М. Лежандр (1752-1833), вместо аксиомы существования прямоугольника или аксиомы параллельных прямых можно принять в качестве аксиомы утверждение о том, что сумма углов треугольника равна 180º. От различных систем аксиом евклидовой геометрии требуется лишь, чтобы они приводили к одним и тем же выводам.

Отметим, что евклидова геометрия не является единственно возможной. Так, в первой половине XIX в. великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) открыл еще одну геометрию, называемую теперь геометрией Лобачевского. В ней аксиома параллельных прямых заменена противоположным по смыслу утверждением:

  • через точку, не лежащую на данной прямой, проходят не менее двух прямых, не пересекающих эту прямую.

В настоящее время геометрия Лобачевского находит широкое применение не только в математике, но и в разнообразных разделах естествознания: в физике, химии, биологии и т. д.

Медаль Лобачевского

В 1895 г. была учреждена престижная премия имени Н. И. Лобачевского, которая присуждается за выдающиеся работы по геометрии, и, прежде всего, неевклидовой геометрии. В 1991 г. учреждена также медаль имени Н. И. Лобачевского, которой награждаются ученые, внесшие большой вклад в развитие геометрии. Имя Н. И. Лобачевского, родившегося в Нижнем Новгороде, присвоено Нижегородскому государственному университету.

Математика: