Виды треугольников

В пункте 18 мы доказали, что если один из углов треугольника прямой, то сумма двух других углов равна 90°, поэтому каждый из них острый.

Рассмотрим теперь треугольник ABC, угол A которого тупой (рис. 95, а). Проведем из точки A во внутренней области угла BAC луч, перпендикулярный к прямой AB, и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной BC (рис. 95, б). Угол B является углом треугольника ABD с прямым углом BAD. Следовательно, угол B острый. Аналогично доказывается, что угол C острый (рис. 95, в).

Углы треугольника

Итак, если один из углов треугольника тупой, то два других угла острые. Таким образом, мы пришли к заключению:

в любом треугольнике либо все три угла острые, либо два угла острые, а третий прямой или тупой.

Отсюда, в частности, следует, что

углы при основании равнобедренного треугольника острые.

Если все углы треугольника острые, то треугольник называют остроугольным (рис. 96, а).

Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называют тупоугольным (рис. 96, б).

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называют прямоугольным (рис. 96, в).

Виды треугольников

Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

Происхождение термина `Гипотенуза`

Докажем, что

гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.

Для этого рассмотрим треугольник ABC с прямым углом C и на луче AB отложим отрезок AM, равный катету AC (рис. 97).

Прямоугольный треугольник

Треугольник ACM равнобедренный, поэтому угол ACM при его основании острый. Следовательно, луч CM проходит внутри прямого угла ACB, а точка M лежит на гипотенузе AB (как и показано на рис. 97). Таким образом, AB > AM = AC, т. е. гипотенуза AB больше катета AC. Справедливость неравенства AB > BC доказывается аналогично.

Рассмотрим произвольную прямую a и точку A, не лежащую на ней. Пусть точка H – основание перпендикуляра, проведенного из точки A к прямой a, а M – любая другая точка прямой a. Отрезок AM называется наклонной, проведенной из точки A к прямой a (рис. 98).

Перпендикуляр и наклонная к прямой

Перпендикуляр AH является катетом, а наклонная AM – гипотенузой прямоугольного треугольника AHM. Так как катет меньше гипотенузы, то

перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.

Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой. На рисунке 98 расстояние от точки A до прямой a равно длине отрезка AH.