Прямоугольный треугольник с углом в 30°

Докажем сначала, что

катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A и углом B, равным 30° (рис. 99, а), и докажем, что .

Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке 99, б. Получится треугольник BCD, в котором ∠D = ∠B = 60°. Следовательно, DC = BC. Но , поэтому .

Катет, равный половине гипотенузы

Докажем теперь, что

если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетом AC, равным половине гипотенузы BC (рис. 100, а), и докажем, что ∠B = 30°.

Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке 100, б. Получится треугольник BCD, В котором DB = BC, а так как BC = 2AC = DC, то DB = DC. Следовательно, ∠DBC = ∠C, а так как ∠DBC = 2∠B и ∠C = 90° – ∠B, то 2∠B = 90° – ∠B, откуда ∠B = 30°.

Катет, равный половине гипотенузы