Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету

Опираясь на результаты пп. 34-39, нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам:

  • по двум катетам;
  • по гипотенузе и острому углу;
  • по катету и любому из острых углов.

(Объясните, как выполнить эти построения.) Решим еще одну из важнейших задач на построение.

Задача

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.

Решение

Пусть MN и PQ – данные отрезки, причем MN > PQ (рис. 161, а). Требуется построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна MN, а один из катетов равен PQ.

Проведем произвольную прямую, отметим на ней точку A и отложим отрезок AB, равный PQ. Через точку A проведем прямую a, перпендикулярную к прямой AB (рис. 161, б); как это сделать, мы знаем. Затем построим окружность радиуса MN с центром B (рис. 161, в). Поскольку BA = PQ < MN, то расстояние от точки B до прямой a меньше радиуса этой окружности, поэтому прямая a и построенная окружность пересекаются в двух точках. Обозначим одну из них буквой C. Треугольник ABC – искомый.

Построение прямоугольного треугольника

Из нашего построения следует, что если один из отрезков меньше другого, то существует прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна большему, а катет – меньшему из этих отрезков.

Замечание. Эту задачу можно решить другим способом, основанным на том, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой (см. следствие 2, п. 33). Действительно, построим середину O отрезка MN и проведем окружность с центром O радиуса OM (рис. 162, а). Затем построим окружность с центром M радиуса PQ. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой L (рис. 162, б). Поскольку вписанный угол L опирается на диаметр MN, то этот угол – прямой, поэтому MN – гипотенуза прямоугольного треугольника LMN, а ML – катет, равный PQ. Таким образом, треугольник LMN искомый.

Построение прямоугольного треугольника