Сумма углов треугольника

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

В любом треугольнике хотя бы два угла острые.

Пусть, например, в треугольнике ABC острыми являются углы B и C. Проведем высоту AA₁ (рис. 121).

Сумма углов треугольника

Тогда A₁ лежит как на луче BC, так и на луче CB (см. п. 24), т. е. лежит между точками B и C. Следовательно, ∠A = ∠BAA₁ + ∠CAA₁.

Поскольку ∠BAA₁ = 90° – ∠B и ∠CAA₁ = 90° – ∠C, то ∠A = 90° – ∠B + 90° – ∠C, откуда ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Теорема доказана.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь из углов этого треугольника.

Из теоремы о сумме углов треугольника следует что:

внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с этим внешним углом.

В самом деле, обратимся к рисунку 122, на котором угол 4 – внешний угол, смежный с углом 3 данного треугольника. Угол 3 в сумме с углом 4 составляет 180°. Этот же угол 3 в сумме с углами 1 и 2 также составляет 180°. Поэтому ∠4 = ∠1 + ∠2, что и требовалось доказать.

Внешний угол треугольника

Математика: