Теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Теорема. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC, угол A которого больше угла B (рис. 119, а), и докажем, что BC > AC.

Треугольник

Отложим от луча AB угол BAD, равный углу B, так, как показано на рисунке 119, б. Поскольку ∠BAD < ∠BAC, то точка D лежит между точками B и C.

Из равенства ∠BAD = ∠B следует, что треугольник BAD равнобедренный: BD = AD. Поэтому BC = BD + DC = AD + DC.

Но в силу неравенства треугольника AD + DC > AC.

Следовательно, BC > AC. Теорема доказана.

Докажем теперь обратную теорему.

Теорема. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC, в котором BC > AC (рис. 120), и докажем, что ∠A > ∠B.

Треугольник

Допустим, что это не так. Тогда либо ∠A = ∠B, либо ∠A < ∠B. Если ∠A = ∠B, то BC = AC, а если ∠A < ∠B, то BC < AC. И то и другое противоречит условию: BC > AC. Поэтому угол A не может быть равным углу B и не может быть меньше угла B. Следовательно, ∠A > ∠B. Теорема доказана.

Замечание. При доказательстве теоремы мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного. Мы предположили, что ∠A ⩽ ∠B, т. е. предположили противоположное (противное) тому, что хотим доказать. Исходя из этого предположения, путем рассуждений мы пришли к противоречию с условием теоремы. Это означает, что наше предположение неверно, и, следовательно, ∠A > ∠B.

Такой способ рассуждений часто используется в математике при доказательствах утверждений. Мы тоже неоднократно им пользовались. Попробуйте вспомнить, где именно.

Математика: