Неравенство треугольника

Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC и докажем, что

     AB < BC + CA, CA < AB + BC, BC < CA + AB     (1)

Пусть, например, AB ⩽ BC и CA ⩽ BC. Тогда первые два из неравенств (1), очевидно, выполняются.

Докажем справедливость третьего неравенства. Проведем высоту AH (рис. 118). Так как катеты прямоугольных треугольников ABH и ACH меньше их гипотенузы, в частности HB < AB и CH < CA, и так как AB ⩽ BC и CA ⩽ BC, то HB < BC и CH < BC. Из двух последних неравенств следует, что точка H лежит между точками B и C. Таким образом, BC = CH + HB < CA + AB. Теорема доказана.

Неравенство треугольника

Доказанную теорему можно сформулировать иначе:

для любых трех точек A, B и C, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства (1).

Каждое из них называется неравенством треугольника.

Неравенство треугольника

Математика: