Построение треугольника по трем сторонам

Задача

Построить треугольник по трем сторонам.

Эту задачу нужно понимать так: даны три отрезка P1Q1, P2Q2 и P3Q3 (рис. 154). Требуется построить треугольник ABC, стороны которого соответственно равны этим трем отрезкам
AB = P1Q1, BC = P2Q2 и CA = P3Q3.

Три отрезка для построения треугольника
Решение
Проведем произвольную прямую, отметим на ней точку A и отложим отрезок AB, равный P1Q1 (рис. 155, а). Затем построим две окружности: радиуса P3Q3 с центром в точке A и радиуса P2Q2 с центром в точке B. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой C. Проведя отрезки AC и BC получим искомый треугольник ABC (рис. 155, б), поскольку AB = P1Q1, BC = P2Q2 и CA = P3Q3.
Построение треугольника по трем отрезкам
Замечание. При решении этой задачи мы исходили из того, что искомый треугольник существует. Если же это заранее неизвестно, то может оказаться, что задача на построение не имеет решения. Например, если в задаче о построении треугольника по трем сторонам заранее неизвестно, что искомый треугольник существует, то данная задача не всегда имеет решение. Действительно, в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, например P1Q1 > P2Q2 + P3Q3, то нельзя построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам. Если мы попытаемся это сделать, то обнаружим, что окружности с центрами A и B не пересекутся (рис. 156). В связи с этим возникает вопрос: всегда ли можно построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам, в том случае, когда каждый из данных отрезком меньше суммы двух других? К этому вопросу мы вернемся в конце 8 класса, а пока скажем лишь, что ответ на него оказывается утвердительным.
Треугольник по трем отрезкам можно построить не всегда

Отметим, что задача о построении треугольника по трем сторонам является одной из важнейших задач на построение. В частности, на ней основаны решения задач в пунктах 36-39.