Вопросы и задачи к параграфу "Соотношения между сторонами и углами треугольника"

49. а) На стороне AB треугольника ABC, в котором AC = 14 см, BC = 6 см, отмечена точка M. Может ли отрезок AM быть равным 20 см?

б) В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием?

в) Точки A и B лежат по разные стороны от прямой CD, причем ACD = BDC и AC = BD. Докажите, что BC < AC + CD.

г) Докажите, что медиана AA₁ треугольника ABC меньше полусуммы сторон AB и AC.

д) Докажите, что прямая, проходящая через середину стороны треугольника перпендикулярно к этой стороне, пересекает большую из двух других сторон треугольника.

е) Докажите, что каждая сторона треугольника меньше половины его периметра.

ж) Докажите, что сумма медиан AA₁ и BB₁ треугольника ABC больше полусуммы сторон AC и BC.

50. а) На стороне AB треугольника ABC, в котором AC = 20 см, отмечена такая точка M, что CM = 16 см. Может ли сторона AB быть равной 4 см?

б) Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны 5 см и 2 см.

в) Точки A и B лежат по разные стороны от прямой CD, причем ACD = BCD и AC = BC. Докажите, что BD < AC + CD.

г) Докажите, что медиана AA треугольника ABC больше полуразности сторон AB и AC.

д) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC отмечены соответственно точки A₁, B₁ и C₁, отличные от вершин треугольника. Докажите, что периметр треугольника A₁B₁C₁ меньше периметра треугольника ABC.

е) Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его периметра.

ж) Точки A и C лежат по разные стороны от прямой BD, а точки B и D – по разные стороны от прямой AC. Докажите, что 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA.

51. а) Стороны треугольника ABC связаны неравенствами AB > BC > AC. Сравните углы этого треугольника и выясните, может ли угол A быть тупым.

б) Углы треугольника ABC связаны неравенствами ∠A > ∠B > ∠C. Сравните стороны этого треугольника.

в) Сравните углы ABC и ACD четырехугольни­ка ABCD, если ∠BAC = ∠CAD, AB = AD = 7 см и AC = 10 см.

г) Докажите, что отрезок, соединяющий точку основания равнобедренного треугольника с противоположной вершиной, не больше боковой стороны.

д) Отрезок AM – медиана треугольника ABC, в котором AB > AC. Докажите, что ∠BAM < ∠CAM.

52. а) Стороны треугольника ABC связаны соотношением AB = AC < BC. Сравните углы этого треугольника и выясните, может ли угол A быть тупым.

б) Углы треугольника ABC связаны соотношениями ∠A > ∠B = ∠C. Сравните стороны этого треугольника.

в) Сравните стороны AB и CD четырехугольни­ка ABCD, если ∠BAC = ∠CAD = 30° и ∠ACB = ∠ACD = 45°.

г) Докажите, что отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, не больше большей из двух других сторон.

д) Отрезок AD – биссектриса треугольника ABC, в котором AB > AC. Докажите, что BD > DC.

53. а) Найдите углы треугольника ABC, если ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3.

б) Внешний угол треугольника больше углов, не смежных с ним, соответственно на 30° и 70°. Найдите углы этого треугольника.

в) Биссектрисы углов при основании AC равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке O, причем ∠AOC = 150°. Найдите углы этого треугольника.

г) На стороне AB треугольника ABC, в котором ∠B = 30°, отмечена точка D, причем ∠ACD + ∠ADC = 120°. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

д) Докажите, что если один из внешних углов треугольника в два раза больше угла треугольника, не смежного с ним, то треугольник равнобедренный. Верно ли обратное утверждение?

е) Во внутренней области угла ABC, равного 60°, отмечена точка D так, что ∠BAD = 100° и ∠BCD = 80°. Найдите угол ADC.

ж) Точка, равноудаленная от вершины треугольника, лежит в его внутренней области. Докажите, что этот треугольник – остроугольный.

з) Отрезок AD – биссектриса треугольника ABC с прямым углом C. Докажите, что CD < AC < AD < AB.

54. а) Один из углов равнобедренного треугольника в два раза больше другого. Найдите эти углы.

б) Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен 100°.

в) На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D. Известно, что BD = DC, ∠ADC = 40° и ∠ACD = 30°. Найдите углы треугольника ABC.

г) Биссектрисы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке O, причем ∠AOB = 135°. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

д) Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC, пересекаются в точке O. Найдите угол BOC, если угол A равен α.

е) Во внутренней области прямого угла ABC отмечена такая точка D, что ∠BAD = 20° и ∠BCD = 10°. Найдите угол ADC.

ж) Точка, равноудаленная от вершин треугольника, лежит во внешней области одного из его углов. Докажите, что этот треугольник – тупоугольный.

з) Отрезок AD – медиана треугольника ABC с прямым углом C. Докажите, что ∠BAD < ∠ABC < ∠ADC < ∠ACB.

Математика: