Вопросы и задачи к параграфу "Прямоугольные треугольники"

41. а) Докажите, что если четырехугольник ABCD – прямоугольник, то ∠CAD = ∠BDA.

б) Диагонали прямоуголь­ника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что OA = OB = OC = OD.

в) Отрезок AH – высота треугольника ABC, в котором ∠C = 63° и ∠BAH = 27°. Докажите, что AB = AC.

г) На рисунке 116 изображен квадрат ABCD, в котором AP = BQ = CR = DS. Докажите, что четырехугольник PQRS – квадрат.

д) Докажите, что высота прямо­угольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разделяет его на два треугольника, углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника.

е) Из точки M стороны AB треугольника ABC с углом C, равным 72°, проведен перпендикуляр MH к стороне AC. Известно, что ∠AMH = 18°. Докажите, что AB = BC.

ж) Основания высот AA₁ и BB₁ треугольника ABC лежат на его сторонах, ∠CAA₁ = ∠ABB₁. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

з) Докажите, что перпендикуляр, проведенный из точки стороны прямоугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, разделяет прямо­угольник на два прямо­угольника.

и) Диагонали прямо­угольника ABCD пересекаются в точке O, точки M и N – середины сторон AB и AD. Докажите, что четырехугольни­к AMON – прямоуголь­ник.

к) В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причем OA = OB = OD. Точки M и N – середины сторон AB и AD. Докажите, что четырехугольник AMON – прямо­угольник.

л) Отрезки MB₁ и MC₁ – перпендикуляры, проведенные из точки M основания BC равнобедренного треугольника ABC к прямым AC и AB, отрезок BH – высота этого треугольника. Докажите, что MB₁ + MC₁ = BH.

42. а) Докажите, что диагонали прямоуголь­ника равны.

б) Точка H – основание перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к прямой AD. Докажите, что AH = HD.
в) На рисунке 116 углы A и D прямые, ∠APS = 61° и ∠DRS = 29°. Докажите, что PS ⊥ RS.

г) На рисунке 117 изображен квадрат ABCD, стороны которого продолжены так, что AP = BQ = CR = DS. Докажите, что четырехугольник PQRS – квадрат.

д) Из точки M, лежащей во внутренней области острого угла A, проведены перпендикуляры MH и MK к сторонам угла. Известно, что ∠AMH = ∠AMK. Докажите, что луч AM – биссектриса угла A.

е) На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки M и N соответственно, отрезки MH и NK – перпендикуляры, проведенные из этих точек к стороне AC. Известно, что ∠AMH = ∠CNK. Докажите, что AB = BC.

ж) Отрезки AD и AH – биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC с основанием AC. Найдите углы треугольника ADH, если ∠B = 44°.

з) Докажите, что если AB ⊥ AC, AD ⊥ AC и BD ⊥ AB, то AC = BD.

и) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, точка M – середина стороны AD. Докажите, что AB = 2OM.

к) В четырехугольни­ке ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причем OA = OB = OC = OD. Докажите, что четырехугольни­к ABCD – прямоуголь­ник.

л) Докажите, что сумма длин перпендикуляров, проведенных из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам, равна высоте этого треугольника. (Внутренняя область треугольника – это общая часть внутренних областей трех его углов.)

43. а) Высота AH прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузе, равна 7 см, а угол C равен 60°. Найдите AB.

б) Биссектриса CD прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой BC равна 8 см. Найдите AB, если ∠BDC = 120°.

в) Отрезок CD – высота треугольника ABC с прямым углом C. Известно, что BC = 2BD. Докажите, что AD = 3BD.

г) Расстояние от середины стороны BC равностороннего треугольника ABC до прямой AB равно 7 см. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

д) Угол прямо­угольного треугольника равен 30°. Докажите, что расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине одного из катетов.

44. а) Высота AH прямоугольного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла, равна 4 см, AB = 8 см. Найдите угол C.

б) Биссектриса CD прямо­угольного треугольника ABC с гипотенузой BC равна отрезку BD. Найдите угол BDC.

в) Отрезок BD – высота треугольника ABC с прямым углом B. Известно, что AB = 2BD. Докажите, что 3AC = 4AD.

г) Угол B равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Найдите расстояние от вершины C до прямой AB, если AC = 30 см.

д) Докажите, что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета, то один из его углов равен 30°.

45. а) Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник – равнобедренный.

б) Докажите, что если сторона, прилежащий к ней угол и высота, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.

в) Докажите, что если острый угол и биссектриса, проведенная из вершины этого угла, одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла, другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

г) Докажите, что если прямая пересекает отрезок в его середине, то концы отрезка равноудалены от этой прямой.

д) Докажите, что если в треугольнике биссектриса является медианой, то этот треугольник – равнобедренный.

46. а) Высоты AA₁ и BB₁ треугольника ABC равны, AB₁ = CA₁. Найдите угол A.

б) Две стороны и высота, проведенная к одной из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них, другого треугольника. Могут ли такие треугольники быть неравными?

в) Докажите, что если сторона и проведенные к ней высота и медиана одного треугольника соответственно равны стороне и проведенным к ней высоте и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

г) Докажите, что если концы отрезка равноудалены от прямой, пересекающей отрезок, то эта прямая проходит через середину отрезка.

д) Точки M и N – середины сторон AB и AC треугольника ABC. Докажите, что эти точки равноудалены от прямой BC.

47. а) Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC пересекает сторону BC в точке E. Найдите AC, если BC = 24 см, а периметр треугольника AEC равен 30 см.

б) Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC пересекаются в точке стороны BC. Докажите, что ∠A = ∠B + ∠C.

в) Две биссектрисы треугольника проходят через точку O. Докажите, что и третья биссектриса проходит через точку O.

г) Точки H и K – проекции середины сторон AB и AC треугольника ABC на прямую BC. Докажите, что BC = 2HK. Рассмотрите все возможные случаи.

48. а) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника проходят через точку O. Докажите, что и серединный перпендикуляр к третьей стороне проходит через точку O.

б) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в точке, лежащей на третьей стороне. Докажите, что этот треугольник прямоугольный, а указанная точка – середина гипотенузы.

в) Биссектрисы внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что луч AO – биссектриса угла A.

г) Докажите, что прямая, проходящая через середины двух сторон треугольника, является серединным перпендикуляром к одной из его высот.