Вопросы и задачи к параграфу "Равнобедренный треугольник"

27. а) Периметр треугольника ABC, изображенного на рисунке 76, отличается от периметра треугольника BCD на 5 см. Найдите периметр ABD, если AB = BD = DA = DC.

б) Точка M – середина стороны AC треугольника ABC, в котором AB = 6 см. Периметры треугольника ABM и BCM отличаются на 10 см. Найдите сторону BC.

в) На стороне AC треугольника ABC с периметром 17 см отмечена точка D. Периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 3 см. Найдите сумму AB + AD.

Периметр треугольников

28. а) Периметр треугольника ABD, изображенного на рисунке 76, равен 27 см. Найдите разность периметров треугольников ABC и BCD, если AB = BD = DA = DC.

б) Точка M – середина стороны AC треугольника ABC, сторона AB меньше стороны BC на 2 мм, периметр треугольника ABM равен 16 мм. Найдите периметр треугольника BCM.

в) На стороне AC треугольника ABC отмечена такая точка D, что периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника ABC, если AB + AD = 28 см.

29. а) Отрезки AB и AC на рисунке 77 равны. Сравните углы 1 и 2.

б) Отрезки BD и DC на рисунке 76 равны. Сравните углы ABC и ACB.

30. а) Отрезки AB и AC на рисунке 78 равны. Сравните углы 1 и 2.

б) Отрезки AB и AD на рисунке 76 равны. Сравните углы ABC и ADB.

Равнобедренные треугольники

31. a) Углы 1 и 2 на рисунке 77 равны. Сравните отрезки AB и AC.

б) Отрезки AB и BC на рисунке 79 равны и ∠1 = ∠2. Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.

в) На рисунке 76 ∠ABD = ∠BDA = ∠DAB, ∠ACB = ∠CBD, а периметр треугольника ABD равен 33 см. Найдите разность периметров треугольников ABC и BCD.

г) Отрезки AB и AC на рисунке 80 равны и ∠1 = ∠2. Докажите, что треугольник DBC равнобедренный.

32. а) Углы 1 и 2 на рисунке 78 равны. Сравните отрезки AB и AC.

б) Отрезки CD и DE на рисунке 79 равны и ∠3 = ∠4. Докажите, что AB = BC.

в) На рисунке 76 ∠ABD = ∠BDA = ∠DAB и ∠ACB = ∠CBD, периметр треугольника ABC отличается от периметра треугольника BCD на 6 см. Найдите периметр треугольника ABD.

г) Отрезки DB и DC на рисунке 80 равны и ∠1 = ∠2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Равнобедренные треугольники

33. а) На продолжении основания AC равнобедренного треугольника ABC за точку C отмечена точка M. Для каких из треугольников ABC, ABM и CBM основание высоты, проведенной из вершины B, лежит на продолжении стороны?

б) В треугольнике ABC точка M – середина стороны AB и ∠A = ∠B. Докажите, что AB ⊥ CM.

в) Из середины M основания BC равнобедренного треугольника ABC проведены биссектрисы MP и MQ треугольников ABM и ACM. Докажите, что ∠PMB = ∠QMC.

г) Сторона AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AC продолжена за точку B на отрезок BD, равный AB. Докажите, что высоты BH и BE треугольников ABC и BCD взаимно перпендикулярны.

д) Докажите, что прямая, проходящая через середину основания равнобедренного треугольника и перпендикулярная к основанию, проходит через вершину треугольника.

34. а) На продолжении основания AC равнобедренного треугольника ABC за точку C отмечена точка D. Для каких из треугольников ABC, ABD и CBD основание высоты, проведенной из вершины B, лежит на стороне?

б) В треугольнике ABC точка M – середина стороны AB и ∠A = ∠B. Докажите, что ∠ACB = 2∠ACM.

в) Точка M – середина основания BC равнобедренного треугольника ABC, точка D и E лежат на сторонах AB и AC так, что ∠DMB = 45° и ∠DME = 90°. Докажите, что отрезок ME – биссектриса угла AMC.

г) Медиана CM треугольника ABC в два раза меньше его стороны AB. Докажите, что медианы MP и MQ треугольников AMC и BMC взаимно перпендикулярны.

д) Отрезок AB – общее основание равнобедренных треугольников ABC и ABD. Докажите, что прямая CD проходит через середину отрезка AB.