Задачи повышенной трудности к "Окружность"

176. К двум окружностям с центрами O и O₁ проведены две общие касательные, не пересекающие отрезка OO₁, и одна общая касательная, пересекающая их в точках A, B и касающаяся окружностей в точках A₁, B₁. Докажите, что AA₁ = BB₁.

177. Внутри угла ABC равностороннего треугольника ABC взята точка M так, что ∠AMB = 30° и ∠MBC = 23°. Найдите углы BAM и BCM.

178. Гипотенузы BC и B₁C₁ прямоугольных треугольников ABC и A₁B₁C₁ равны, AB < A₁B₁. Докажите, что AC > A₁C₁.

179. Докажите, что основания высот остроугольного треугольника являются вершинами треугольника, в котором эти высоты являются биссектрисами.

180. Вершины P и E равностороннего треугольника APE лежат на сторонах BC и CD прямоугольника ABCD, точки K и M – середины сторон AE и AP. Докажите, что треугольники BKC и CMD – равносторонние.

181. Вершины A и B треугольника ABC с прямым углом C скользят по сторонам прямого угла с вершиной P. Докажите, что точка C перемещается при этом по отрезку.

182. Через данную точку M проведены всевозможное прямые, на которых данная окружность с центром O отсекает отрезки, являющиеся ее хордами. Что представляет собой множество середин таких хорд, если точка M:
а) лежит вне окружности;
б) лежит внутри окружности и не совпадает с центром;
в) лежит на окружности?

183. Отрезок AB является диаметром окружности с центром O. На каждом радиусе OM окружности отложен отрезок OX, равный перпендикуляру, проведенному из точки M к прямой AB. Что представляет собой множество точек X?

184. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

185. Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудаленную от этих прямых. Сколько решений имеет задача?

186. На данной окружности постройте точку, равноудаленную от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

187. Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудаленную от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?

188. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой a. Постройте точку M прямой a так, чтобы сумма AM + MB была меньше суммы AX + XB, где X – любая точка прямой a, отличная от M.

189. Даны окружность с центром O и точка A вне нее. Проведите через точку A прямую, пересекающую окружность в точках B и C, так, что AB = BC. При каком соотношении между отрезком OA и радиусом R окружности задача имеет решение?

190. Постройте треугольник по периметру и двум углам

191. Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумму двух других сторон.

192. Даны отрезок AB и прямая a, пересекающая этот отрезок. Постройте на прямой a точку C так, чтобы эта прямая содержала биссектрису треугольника ABC. Всегда ли задача имеет решение?

193. Постройте общую касательную к двум данным окружностям. Сколько решений может иметь эта задача?