Задачи повышенной трудности "Треугольники"

141. На сторонах угла POQ отмечены точки A, B, С и D так, что AO = OB и AC = BD (рис. 170). Прямые AD и BC пересекаются в точке E. Докажите, что луч OE – биссектриса угла POQ. Опишите основанный на этом факте способ построения биссектрисы угла.

Биссектриса угла

142. Отрезки AB и CD пересекаются в середине M отрезка AB, причем AC = BD = AM. Докажите с помощью наложения, что точка M является серединой отрезка CD.

143. Докажите, что если AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и AM = A₁M₁, где AM и A₁M₁ – медианы треугольников ABC и A₁B₁C, то эти треугольники равны.

144. Докажите, что если сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.

145. Докажите, что если медиана и углы, на которые она разделяет угол, одного треугольника соответственно равны медиане и углам, на которые она разделяет угол, другого треугольника, то такие треугольники равны.

146. Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными?

147. Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум сторонам и какому-то углу другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными?

148. Точки C и D расположены по разные стороны от прямой AB, причем AC = BD и ∠BAC = ∠ABD. Докажите, что прямая CD пересекает отрезок AB и делит его пополам.

149. Докажите, что четырехугольник, стороны которого лежат на биссектрисах углов прямоугольника, является квадратом.

150. Углы A и D четырехугольника ABCD – прямые и AB = CD. Докажите, что этот четырехугольник – прямоугольник.

151. На стороне AB квадрата ABCD отмечена точка P. Биссектриса угла DCP пересекает AD в точке Q. Докажите, что CP = DQ + BP.

152. На рисунке 171 изображены три квадрата. Найдите сумму углов 1, 2 и 3.

153. Биссектрисы равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке D, точка O равноудалена от всех вершин треугольника. Середина отрезка OD лежит на основании AB. Найдите углы треугольника ABC.

154. В треугольнике ABC высота, проведенная из вершины A, не меньше стороны BC, а высота, проведенная из вершины B, не меньше стороны AC. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный и прямоугольный.

155. Точки M и N – середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD с прямыми углами A и B. Докажите, что 2MN = AD – BC.

156. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины.

157. В треугольнике ABC сторона AB меньше стороны AC, отрезки AD и AH – биссектриса и высота треугольника. Докажите, что точка H лежит на луче DB.

158. Отрезок AD – биссектриса треугольника ABC с неравными сторонами AB и AC. Докажите, что точка D лежит между серединой стороны BC и основанием высоты AH.

159. Вне равностороннего треугольника ABC отмечена точка E, а внутри него – точка M. Докажите, что MA < BE + EC.

160. Исходя из рисунка 172, найдите сумму углов 1, 2, 3, 4 и 5.

161. Внутри квадрата ABCD взята такая точка M, что ∠ABM = 75° и ∠CDM = 30°. Найдите угол MAB.

162. Каждый угол треугольника меньше суммы двух других его углов. Определите вид этого треугольника.

163. Докажите, что отрезок с концами на разных сторонах треугольника не превосходит наибольшей из сторон треугольника.

164. Точка M расположена внутри треугольника ABC так, что AM = AB. Докажите, что AB < AC.

165. Точка D расположена на биссектрисе внешнего угла с вершиной A треугольника ABC. Докажите, что периметр треугольника BCD больше периметра треугольника ABC.

166. Внутри треугольника ABC с тупым углом A отмечены точки P и Q, а на луче QB вне треугольника отмечена точка M. Может ли выполняться неравенство ∠CAP ≥ ∠CBM?

167. Можно ли внутри треугольника ABC с тупым углом A отметить точки P и Q так, чтобы угол BAP был не меньше угла BQC?

168. На биссектрисе угла BAC отмечена точка O, а на продолжении луча AB отмечена точка D. Может ли выполняться равенство OA = OD? Рассмотрите все возможные случаи.

169. Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведенная из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.

170. Докажите, что если угол треугольника является острым, прямым или тупым, то медиана, проведенная из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.

171. Высота и медиана треугольника, проведенные из одной вершины, делят угол треугольника на три равных угла. Докажите, что этот треугольник – прямоугольный.

172. Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием BC и углом A, равным 80°, отмечена такая точка M, что ∠MBC = 30° и ∠MCB = 10°. Найдите угол AMC.

173. Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием BC и углом A, равным 80°, отмечена такая точка M, что ∠MBC = 30° и ∠MCA = 10°. Найдите угол MAB.

174. Дан треугольник ABC, в котором B = 70°, C = 50°. На сторонах AB и AC отмечены такие точки M и N, что ∠MCB = 40° и ∠NBC = 50°. Найдите угол NMC.

175. На боковых сторонах BA и BC равнобедренного треугольника ABC с углом B, равным 20°, отмечены соответственно точки Q и P так, что ∠ACQ = 60° и ∠CAP = 50°. Найдите угол APQ.