Дополнительные задачи к главе "Окружность"

109. Докажите, что окружности радиуса AB с центрами A и B пересекаются в двух точках.

110. Расстояние от точки до центра данной окружности равно диаметру этой окружности. Найдите угол между отрезками касательных, проведенными из указанной точки к данной окружности.

111. На рисунке 165 прямые AB и AC – касательные к окружности, B и C – точки касания. Докажите, что ∠BAC = 180° – ◡BDC.

112. Докажите, что если точки A, B и C не лежат на одной прямой, то точка пересечения окружностей с диаметрами AB и BC, отличная от B, лежит на прямой AC.

113. Две окружности имеют общую точку M и общую касательную в этой точке. Прямая AB касается одной окружности в точке A, а другой – в точке B. Найдите угол AMB.

114. На рисунке 166 прямая AB – касательная к окружности, B – точка касания. Докажите, что

115. Вершины остроугольного треугольника ABC лежат на окружности с центром O, отрезок AH – высота этого треугольника. Докажите, что ∠OAC = ∠BAH.

116. Вершины треугольника ABC лежат на окружности. Хорды AA₁, BB₁ и CC₁ содержат его биссектрисы. Выразите углы треугольника ABC через углы треугольника A₁B₁C₁.

117. Отрезки AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.

118. Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что ∠CHB₁ = ∠CA₁B₁.

119. Из точки M катета AC прямоугольного треугольника ABC проведен перпендикуляр MH к гипотенузе AB. Докажите, что ∠MHC = ∠MBC.

120. Исходя из рисунка 167, докажите, что AP = AQ.

121. Точки A, B, C и D лежат на одной окружности, луч BD содержит биссектрису BM треугольника ABC. Докажите, что ∠AMD = ∠BAD.

122. Хорды AB и CD – взаимно перпендикулярны, луч AB – биссектриса угла DAE. Докажите, что AE ⊥ BC. Рассмотрите все возможные случаи.

123. На сторонах угла с вершиной O отложены равные отрезки OA и OB, а во внутренней области этого угла отмечена точка C. Постройте точку M так, чтобы угол MAO был равен углу MBO, а отрезок MC был равен отрезку AB. Сколько решений может иметь эта задача?

124. Постройте равнобедренный треугольник:
а) по боковой стороне и углу при основании;
б) по основанию и медиане, проведенной к основанию;
в) по основанию и углу между боковыми сторонами.

125. Постройте прямоугольный треугольник:
а) по острому углу и высоте, проведенной к гипотенузе;
б) по острому углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла.

126. Постройте треугольник:
а) по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон;
б) по двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне;
в) по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла;
г) по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. Сколько решений может иметь эта задача?

127. Постройте угол, равный 160°, 75°, 105°.

128. Постройте остроугольный треугольник ABC по сумме углов A и B, высоте BD и стороне AC.

129. Постройте остроугольный треугольник ABC по разности углов A и B, высоте CD и стороне BC.

130. На стороне AC треугольника ABC отмечены точка M. Постройте треугольник ABC по отрезкам AB, BM и углам AMB, BCM.

131. На стороне AC треугольника ABC отмечены точка M. Постройте треугольник ABC по отрезкам BC, AM и углам ABM, AMB.

132. Разделите данный угол в 54° на три равные части.

133. Разделите данный угол в 35° на семь равных частей.