Допол­нительные задачи к главе "Треугольники"

§5 Равнобедренный треугольник

55. Точка C лежит на прямой AB, а точка D не лежит на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.

56. Биссектрисы углов при основании AC равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что ∠ABO = ∠CBO.

57. Докажите, что если в треугольнике ABC стороны AB и AC не равны, то медиана AM треугольника не является высотой.

58. Докажите, что каждый угол имеет биссектрису.

59. Докажите, что каждый отрезок имеет середину.

§6 Признаки равенства треугольников

60. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ стороны AB и A₁B₁ равны и ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁. На сторонах AC и A₁C₁ отмечены точки D и D₁ так, что CD = C₁D₁. Докажите, что треугольники BDC и B₁D₁C₁ равны, и сравните отрезки BD и B₁D₁.

61. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁ равны и AB = A₁B₁, AC = A₁C₁. На сторонах AC и A₁C₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠DBC = ∠D₁B₁C₁. Докажите, что треугольники BDC и B₁D₁C₁ равны, и сравните углы BDC и B₁D₁C₁.

62. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD = CE. Отрезки DC и AE пересекаются в точке O. Докажите, что AO = OC.

63. Вершины B и D равнобедренных треугольников ABC и ADC с общим основанием AC лежат по разные стороны от прямой AC. На отрезке BD отмечена точка E, не лежащая на прямой AC. Докажите, что ∠EAC = ∠ACE.

64. На сторонах OK и OL треугольников OKB и OLC с прямыми углами при вершине O отмечены точки A и D. Известно, что OA = OD, AK = DL и ∠KAB = ∠CDL. Докажите, что KB = CL.

65. Отрезки AD и BE пересекаются в точке C, причем AC = CE и ∠BAC = ∠DEC. Докажите, что ᐃABE = ᐃEDA.

66. Докажите, что в равнобедренном треугольнике равны: медианы, проведенные к боковым сторонам; биссектрисы, проведенные к боковым сторонам.

67. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

68. На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отмечены такие точки P и Q, что ∠PMB = ∠QMC, где M – середина основания BC. Докажите, что BQ = CP.

69. На рисунке 123 отрезки AC и BD равны и ∠CAD = ∠BDA. Докажите, что ∠BAC = ∠CDB.

70. На рисунке 124 AB = CD, AD = BC, BE И DF – высоты треугольников ABC и ADC. Докажите, что ᐃABE = ᐃCDF.

Четырехугольники

71. В треугольнике ABC и A₁B₁C₁ равны стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, медианы AM и A₁M₁. Докажите, что ᐃABC = ᐃA₁B₁C₁.

72. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны углы A и A₁, стороны AB и A₁B₁, биссектрисы AD и A₁D₁. Докажите, что ᐃABC = ᐃA₁B₁C₁.

§7 Прямоугольные треугольники

73. Докажите, что основание одной из высот тупоугольного треугольника лежит на стороне треугольника, а основание двух других высот – на продолжениях сторон.

74. Отрезки AH и AD – высота и биссектриса треугольника ABC. Докажите, что угол HAD равен модулю полуразности углов B и C.

75. Продолжения высот BB₁ и CC₁ треугольника ABC с тупым углом A пересекаются в точке H. Докажите, что ∠ABH = ∠ACH и ∠A + ∠BHC = 180°.

76. Докажите, что в равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные из вершин основания, равны.

77. Докажите, что если сторона и высоты, проведенные из концов этой стороны, одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведенным из концов этой стороны, другого остроугольного треугольника, то такие треугольники равны.

78. Докажите, что середина основания равнобедренного треугольника равноудалена от боковых сторон.

79. Из точки M биссектрисы неразвернутого угла O проведены перпендикуляры MA и MB к сторонам этого угла. Докажите, что AB ⊥ OM.

80. Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых?

81. Биссектрисы углов при основании AB равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что прямая CM – серединный перпендикуляр к отрезку AB.

82. Высоты AA₁ и BB₁ равнобедренного треугольника ABC, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке M. Докажите, что прямая MC – серединный перпендикуляр к отрезку AB.

83. На диагонали AC квадрата ABCD отмечена такая точка N, что AN = 3NC, точка M – середина стороны AB. Докажите, что ∠DNM = 90°.

§8 Соотношения между сторонами и углами треугольника

84. Точка M лежит во внутренней области треугольника ABC. Докажите, что MB + MC < AB + AC.

85. Точка M лежит во внутренней области треугольника ABC. Докажите, что MA + MB + MC < AB + BC + CA.

86. Докажите, что для любых точек A, B и C имеет место неравенство AB ⩽ AC + CB.

87. Отрезок AM – медиана треугольника ABC, причем ∠CAM < ∠B + ∠C. Докажите, что AB < 2AM.

88. Отрезок AM – медиана треугольников ABC, причем AC < 2AM. Докажите, что ∠C + ∠B < ∠MAB.

89. В четырехугольни­ке ABCD диагонали AC и BD пересекаются, а сторона AB больше диагонали BD. Докажите, что AC > CD.

90. Во внутренней области равностороннего треугольника ABC отмечена точка D. Докажите, что DA < DB + DC.

91. Треугольники ABC и DEF на рисунке 125 равносторонние. Докажите, что AD = BE = CF.

Равносторонний треугольник

92. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC отмечены такие точки D и E, что BD = BC и AE = AC. Найдите угол DCE.

93. На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC отмечена такая точка P, что AP = AB. Отрезок BD – высота треугольника. Докажите, что луч BP – биссектриса угла CBD.

94. На рисунке 126 AB = AC и AP = PQ = QR = RB = BC. Найдите угол A и докажите, что BQ = BR.

Равнобедренный треугольник

95. Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке M, причем ∠AMB = 142°. Найдите углы ACM и BCM.

96. Отрезок AA₁ – биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AB > A₁B и AC > A₁C.

97. В треугольнике ABC угол C прямой, а ∠B = 35°. На сторонах AB и BC отмечены такие точки P и Q, что ∠PCB = 20° и ∠BAQ = 10°. Найдите угол CPQ.

98. Перпендикуляр MH к прямой, содержащей катет AC прямоугольного треугольника ABC, пересекает гипотенузу BC в точке D. Известно, что ∠CDH = 50°, ∠CMH = 45° и ∠ABH = 10°. Найдите угол BMH.