Вопросы и задачи к параграфу "Отрезки и углы, связанные с окружностью"

99. а) Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O, причем ∠AOB = ∠COD. Докажите, что AB = CD.

б) Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O, причем AB = CD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB и CD.

в) Отрезок AD – высота треугольника ABC. На прямой BC отмечена точка L так, что точка D является серединой отрезка CL; на прямой AB отмечены точки M и N так, что AM = AC и точка A является серединой отрезка MN. Докажите, что точки C, L, M и N лежат на одной окружности.

100. а) Точки M, N, P и Q лежат на окружности с центом O, причем MN = PQ. Докажите, что ∠MON = ∠POQ.

б) Точки M, N, E и F лежат на окружности с центом O, причем точка O равноудалена от прямых MN и EF. Докажите, что MN = EF.

в) Отрезки OA и OB – радиусы окружности, причем ∠AOB = 120°. Биссектриса OP угла AOB пересекает окружность в точке Q, при этом PQ = OQ. Докажите, что точки A, B, O и P лежат на одной окружности.

101. а) Отрезок AB – гипотенуза прямоугольного треугольника ABC. Докажите, что прямая BC является касательной к окружности с центром A радиуса AC, а прямая AB не является касательной к окружности с центром C радиуса BC.

б) В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 20 см и ∠A = 60°. Каким должен быть радиус окружности с центром A, чтобы она: 1) касалась прямой BC; 2) не имела с прямой BC общих точек; 3) имела с прямой BC две общие точки?

в) В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны и AB = 10 см. Каково взаимное расположение прямой AB и окружности с центром C радиуса 5 см?

г) Точки A и B лежат на касательной к окружности с центром O по разные стороны от точки касания, причем OA = OB = 8 см и ∠AOB = 120°. Найдите радиус окружности.

д) Прямые MA и MB – касательные к окружности, A и B – точки касания, отрезок AB равен радиусу окружности. Найдите угол AMB.

е) Прямые MA и MB – касательные к окружности радиуса 4 см, A и B – точки касания, ∠AMB = 60°. Найдите расстояние от точки M до прямой AB.

ж) Дуга AB окружности с центром O меньше 180°. На этой дуге отмечена точка M. Прямая, касающаяся окружности в точке M, пересекает касательные CA и CB в точках P и Q. Докажите, что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки M на дуге AB.

102. а) Отрезок AH – перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой, проходящей через центр O окружности радиуса 5 см. Является ли прямая AH касательной к окружности, если: 1) ∠AOH = 45° и AH = 6 см; 2) ∠AOH = 60 и AO = 10 см?

б) Точка M – середина стороны AB квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус окружности с центром M, чтобы она: 1) касалась прямой CD; 2) не имела с прямой CD общих точек; 3) имела с прямой CD две общие точки?

в) В треугольнике ABC угол C – прямой, AB = 2AC, BC = 6 см. Каково взаимное расположение прямой AB к окружности с центром O так, что OP = OQ, PQ = 20 см и ∠POQ = 90°. Найдите радиус окружности.

д) Прямые MA и MB – касательные к окружности с центром O радиуса 3 см, A и B – точки касания, MO = 6 см. Найдите угол AMB.

е) Перпендикулярные прямые AB и AC – касательные к окружности с центром O (B и C – точки касания). Докажите, что четырехугольник OBAC – квадрат.

ж) Дуга AB окружности с центром O больше 180°. На этой дуге отмечена точка M. Прямая, касающаяся окружности в точке M, пересекает касательные CA и CB в точках P и Q. Докажите, что величина CP + CQ – PQ и угол POQ не зависят от выбора точки M на дуге AB.

103. а) Дуга AB окружности с центром O и радиуса 8 см равна 30°. Найдите расстояние от точки A до прямой OB.

б) Диаметр AA₁ окружности перпендикулярен к хорде BB₁. Докажите, что градусные меры дуг AB и AB₁, меньших 180°, равны.

104. а) Отрезки OA и OB – радиусы окружности, расстояние от точки A до прямой OB в два раза меньше радиуса. Найдите дугу AB.

б) Точки A, B, C и D лежат на окружности. Докажите, что если ◡AB = ◡CD, то AB = CD.

105. а) Через конец хорды, равной радиусу, проведена касательная. Найдите углы между касательной и хордой.

б) Через точку A, лежащую на окружности, проведены касательная AB и хорда AC. На дуге AC, лежащей внутри угла BAC, отмечена точка M так, что ◡AM = ◡MC. Расстояние от точки M до прямой AC равно 10 см. Найдите расстояние от точки M до прямой AB.

в) Отрезки MA и MB – хорды окружности радиуса 6 см, ∠AMB = 30°. Найдите хорду AB.

г) Центральный угол на 27° больше вписанного угла, опирающегося на дугу AB. Найдите каждый из этих углов.

д) Хорды AC и BD пересекаются, причем AB = CD. Докажите, что AC = BD.

е) Отрезок AO является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром O. Хорда AB второй окружности пересекает первую окружность в точке C. Докажите, что AC = BC.

ж) Через точку A, лежащую на окружности с центром O, проведены хорда AB и касательная a. Через точку O проведена прямая, перпендикулярная к прямой OB и пересекающая хорду AB в точке C, а касательную a в точке D. Докажите, что AD = CD.

з) Исходя из рисунка 151, докажите, что .

106. а) Радиус OA окружности с центром O проходит через середину хорды BC. Через точку B проведена касательная к окружности, пересекающая прямую OA в точке M. Докажите, что луч BA – биссектриса угла CBM.

б) Точки A, B и C лежат на окружности, прямая MA – касательная к ней. Докажите, что если точка C равноудалена от прямых AB и AM, то она делит дугу ACB пополам.

в) Отрезки MA и MB – хорды окружности с центром O, ∠AMB = 45°, AB = 7 см. Найдите расстояние от точки O до прямой AB.

г) На окружности отмечены точки A, B, M и N так, что AM = BM и ◡AMB – ◡ANB = 160°. Найдите угол ABM.

д) Равные хорды AC и BD пересекаются. Докажите, что либо AB = CD, либо AD = BC.

е) На диаметре AB отмечена точка C. Хорды BD и BE пересекают окружность с диаметром BC в точках P и Q соответственно. Докажите, что ∠BED = ∠BQP и ∠BDE = ∠BPQ.

ж) Отрезки AB и AC – диаметр и хорда окружности. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что ∠ACD = ∠CBD.

з) Исходя из рисунка 152, докажите, что .