Вопросы и задачи к параграфу "Признаки равенства треугольников"

35. а) Углы AOQ и BOQ на рисунке 87 равны. Докажите, что если OA = OB, то ΔAOC = ΔBOC.

б) Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

в) Углы AOC и BOC на рисунке 87 равны. Докажите, что если AO = OB, то ∠ABC = ∠BCA и AQ = BQ.

г) Углы AQC и BPC на рисунке 88 равны. Докажите, что если AP = BQ, то ∠ABC = ∠BAC.

д) На рисунке 87 OA = OB и AQ = BQ. Докажите, что ∠CAO = ∠CBO.

е) На рисунке 87 AC = BC и AR = BP. Докажите, что AP = BR.

ж) На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC взяты такие точки M, P и K, что AM : MB = BP : PC = CK : KA = 1 : 3. Докажите, что треугольник MPK – равносторонний.

з) На рисунке 87 AC = BC и CP = CR. Докажите, что AP = BR.

Признаки равенства треугольников

36. а) Отрезки OP и OR на рисунке 87 равны и ∠POQ = ∠ROQ. Докажите, что ΔCOP = ΔCOR.

б) На рисунке 87 AP = BR и OA = OB. Докажите, что AR = BP.

в) Отрезки PQ и RQ на рисунке 89 равны и ∠PQC = ∠RQC. Докажите, что ∠CPR = ∠CRP и CQ ⊥ PR.

г) Углы AQC и BPC на рисунке 88 равны и AQ = BP. Докажите, что ∠ACP = ∠BCQ.

д) Углы CPR и CRP на рисунке 89 равны и PQ = RQ. Докажите, что ∠ACP = ∠BCQ.

е) На рисунке 87 OA = OB и OP = OR. Докажите, что ∠ABC = ∠BAC.

ж) Стороны AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC продолжены за точки A, B и C на отрезки AM, BK и CP так, что MA : AB = KB : BC = PC : CA = 2 : 1. Докажите, что треугольник MPK равносторонний.

з) На рисунке 88 CP = CQ, AP = BQ и AM = BN. Докажите, что MP = NQ.

37. а) На рисунке 89 ∠CQP = ∠CQR, AC = BC и AQ = BQ. Докажите, что ΔAQR = ΔBQR.

б) Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

в) На рисунке 87 ∠CMP = ∠CNQ, AC = BC и MC = NC. Докажите, что MP = NQ.

г) На рисунке 87 ∠ABO = ∠BAO и ∠OAC = ∠OBC. Докажите, что AP = BR.

д) На рисунке 87 OA = OB и AQ = BQ. Докажите, что OP = OR.

38. а) На рисунке 89 ∠CPQ = ∠CRQ, AC = BC и AR = BP. Докажите, что ΔAQR = ΔBQP.

б) На рисунке 87 луч CQ – биссектриса угла ACB, а луч OQ – биссектриса угла AOB. Докажите, что AC = BC.

в) Углы ACQ и BCP на рисунке 88 равны и AC = BC. Докажите, что CP = CQ.

г) На рисунке 89 AC = BC и OA = OB. Докажите, что AP = BR.

д) Углы ACO и BCO на рисунке 87 равны и CP = CR. Докажите, что AR = BP.

39. а) На рисунке 87 AC = BC и OA = OB. Докажите, что ∠AOQ = ∠BOQ.

б) На рисунке 89 CP = CR и QP = QR. Докажите, что OP = OR.

в) На рисунке 89 CP = RQ и CR = PQ. Докажите, что CO = OQ и PO = OR.

г) На рисунке 87 AP = BR и AR = BP. Докажите, что ∠PAR = ∠RBP.

40. а) На рисунке 89 CP = RQ и CR = PQ. Докажите, что ∠CQP = ∠QCR.

б) На рисунке 87 AC = BC и OA = OB. Докажите, что CQ ⊥ AB.

в) Углы AQR и BQP на рисунке 89 равны и CP = PQ = QR = RC. Докажите, что AR = BP.

г) На рисунке 87 AR = BP и CR = CP. Докажите, что ∠PAR = ∠RBP.