Построение касательной

Задача

Через данную точку A провести касательную к данной окружности с центром O.

Решение

Если точка A лежит на данной окружности, то проведем прямую OA, а затем построим прямую a, проходящую через точку A перпендикулярно к прямой OA (рис. 163). По признаку касательной прямая a является искомой касательной.

Способ построения касательной к окружности

Если точка A лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью, то задача решения не имеет, поскольку любая пряма, проходящая, через точку A, является секущей (докажите это).

Наконец, если точка A лежит вне круга, ограниченного данной окружностью, то будем рассуждать так. Допустим, что задача решена и AB – искомая касательная (рис. 164, а). Поскольку прямая AB перпендикулярна к радиусу OB, то решение задачи сводится к построению прямоугольного треугольника AOB с гипотенузой OA и катетом OB, равным радиусу данной окружности. Эту задачу, как вы знаете, можно решить разными способами. В данном случае удобно воспользоваться идеей, высказанной в замечании п. 40. Проведем отрезок OA и построим его середину M. Затем проведем окружность с центром M радиуса MA (рис. 164, б). Одну из точек пересечения этой окружности с данной окружностью обозначим буквой B. Поскольку AB ⊥ OB, то прямая AB – искомая касательная (рис. 164, в).

Способы построения касательной к окружности