Касательная

Докажем теорему о свойстве касательной:

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство. Пусть a – касательная к окружности с центром O, A – точка касания (рис. 137). Докажем, что a ⊥ OA.

Допустим, что это не так. Тогда радиус OA будет наклонной к прямой a, поэтому расстояние от точки O до прямой a меньше радиуса. Из этого следует, что прямая a является секущей, а не касательной, что противоречит условию. Следовательно, прямая a перпендикулярна к радиусу OA. Теорема доказана.

Касательные к окружности

Рассмотрим две касательные к окружности с центром O, проходящие через точку A. Пусть B и C – точки касания (рис. 138). Отрезки AB и AC назовем отрезками касательных, проведенными из точки A. Они обладают следующим свойством:

отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

В самом деле, по теореме о свойстве касательной ∠ABO = 90° и ∠ACO = 90°, т. е. треугольники ABO и ACO прямо­угольные. Эти треугольники имеют общую гипотенузу OA и равные катеты OB и OC, поэтому они равны. Следовательно, AB = AC и ∠OAB = ∠OAC, что и требовалось доказать.

Докажем теперь теорему, обратную теореме о свойстве касательной (признак касательной).

Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство. По условию данный радиус (радиус OA на рис. 139) является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой a, поэтому расстояние от центра окружности до прямой a равно радиусу. Следовательно, прямая a и окружность имеют только одну общую точку, т. е. данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу