Признаки равенства прямоугольных треугольников

В прямоугольном треугольнике угол между катетами прямой, а любые два прямых угла равны. Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения:

если катеты одного прямоуголь­ника соответственно равны катетам другого прямоуголь­ного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 101);

если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 102).

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Учитывая, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, получаем еще два признака равенства прямоугольных треугольников:

если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 103);

если катет и противолежащий ему угол одного прямоуголь­ного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 104).

В самом деле, в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому указанные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

Рассмотрим еще один признак равенства прямоугольных треугольников.

Теорема. Если гипотенуза и катет одного прямо­угольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых углы A и A₁ прямые, BC = B₁C₁ и AB = A₁B₁ (рис. 105, а). Докажем, что эти треугольники равны.

Приложим треугольник ABC к треугольнику A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершина B – с вершиной B₁, а вершины C и C₁ оказались по разные стороны от прямой A₁B₁ (рис. 105, б). Поскольку ∠CA₁C₁ = 90° + 90° = 180°, то точки C, A₁ и C₁ будут лежать на одной прямой. Треугольник CB₁C₁ равнобедренный, поэтому ∠C = ∠C₁. Следовательно, прямоугольные треугольники ABC и A₁B₁C равны по гипотенузе (BC = B₁C₁) и острому углу (∠C = ∠C₁). Теорема доказана.

Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету