Прямоугольник

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков AB, BC, CD и DA, никакие два из которых не лежат на одной прямой и не имеют общих точек, отличных от концов. Такая фигура называется четырехугольником ABCD (рис. 90), указанные отрезки называются сторонами, а концы сторон (точки A, B, C, D) – вершинами четырехугольни­ка.

Четырехугольник и прямоугольник

Две стороны четырехугольни­ка, имеющие общую вершину, называются смежными, а две стороны, не имеющие общей вершины, – противоположными. Смежными сторонами четырехугольни­ка ABCD (рис. 90) являются стороны AB и BC, BC и CD, CD и DA, DA и AB, а противоположными – стороны AB и CD, BC и DA. Отрезок, соединяющий две вершины и отличный от стороны (отрезки AC и BD на рисунке 90), называются диагональю четырехугольника.

Четырехугольник ABCD называется прямоугольником, если углы ABC, BCD, CDA и DAB прямые (рис. 91).

Докажем теорему о противоположных сторонах прямо­угольника.

Теорема. Противоположные стороны прямоугольника равны.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольник ABCD (рис. 92, а) и докажем, что его противоположные стороны, например, AB и DC, равны.

Доказательство равенства противоположных сторон прямоугольника

Через середину M стороны AD проведем прямую, перпендикулярную к AD. Она пересечет сторону BC в некоторой точке N (рис. 92, б). Мысленно перегнем плоскость по прямой MN так, чтобы одна из полуплоскостей с границей MN наложилась на другую. При этом точки M и N останутся на месте. Углы AMN и DMN прямые, поэтому луч MA наложится на луч MD. Кроме того, MA = MD. Следовательно, точки A и D совместятся.

Поскольку углы A и D прямые, то сторона AB наложится на луч DC. Если при этом точки B и C совместятся, то совместятся стороны AB и DC, и, следовательно, они равны (рис. 92, в).

Но не может ли получиться так, что точка B совместится не с точкой C, а с какой-то другой точкой E луча DC (рис. 92, г)? В этом случае мы обнаружим, что прямой угол NBA совместится с прямым углом NED и, следовательно, из точки N к прямой DC проведены два перпендикуляра – NC и NE. Но этого не может быть, так как из точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой. Следовательно, точка B совместится с точкой C. Таким образом, стороны AB и DC совместятся, а значит AB = DC. Теорема доказана.

Пример прямоугольников

Следствие. Если две смежные стороны прямоугольника равны, то все его стороны равны.

Прямоугольник, все стороны которого равны, называется квадратом.

Следствие. Если один из углов треугольника прямой, то сумма двух других углов этого треугольника равна 90°.

В самом деле, пусть угол C треугольника ABC прямой (рис. 93, а). Докажем, что ∠A + ∠B = 90°.

Наряду с треугольником ABC рассмотрим прямо­угольник, смежные стороны которого равны соответственно отрезкам CB и CA (рис. 93, б). (Здесь и в дальнейшем мы будем исходить из того, что для любых двух отрезком существует прямо­угольник, две смежные стороны которого равны этим отрезкам.) Диагональ прямоуголь­ника разделяет его на два треугольника, у которых эта диагональ является общей стороной, а другие стороны попарно равны как противоположные стороны прямо­угольника (рис. 93, в). Каждый из этих треугольников равен треугольнику ABC (по двум сторонам и заключенному между ними прямому углу). Значит, ∠1 = ∠A и ∠2 = ∠B. Но ∠1 + ∠2 = 90°, поэтому ∠A + ∠B = 90°, что и требовалось доказать.

Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника

Следствие. Если в четырехугольни­ке ABCD углы DAB, ABC и BCD прямые, то этот четырехугольник – прямоугольник.

Требуется доказать, что угол CDA также является прямым. Доказательство смотрите на рисунке 94.

Прямоугольник определяется тремя прямыми углами