Вопросы для повторения к главе "Треугольники"

  1. Объясните, какая фигура называется треугольником. Что какое стороны, вершины, углы и периметр треугольника?
  2. Какой треугольник называется равнобедренным? Равносторонним? Как называются стороны равнобедренного треугольника?
  3. Сформулируйте и докажите теорему об углах равнобедренного треугольника?
  4. Докажите теорему (признак равнобедренного треугольника): если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.
  5. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?
  6. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?
  7. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?
  8. Сформулируйте и докажите теорему о высоте равнобедренного треугольника?
  9. Какое утверждение называется следствием? Сформулируйте следствия из теоремы о высоте равнобедренного треугольника.
  10. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.
  11. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников.
  12. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.
  13. Объясните, какая фигура называется четырехугольни­ком. Что такое вершины, смежные стороны, противоположные стороны и диагонали четырехугольни­ка?
  14. Какой четырехугольни­к называется прямо­угольником?
  15. Сформулируйте и докажите теорему о противоположных сторонах прямоуголь­ника. Какой четырехугольни­к называется квадратом?
  16. Докажите, что если один из углов треугольника прямой, то сумма двух других углов этого треугольника равна 90°.
  17. Докажите, что если три угла четырехугольника прямые, то этот четырехугольни­к – прямоуголь­ник.
  18. Докажите, что в любом треугольнике либо все три угла острые, либо два угла острые, а третий прямой или тупой.
  19. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника – острые.
  20. Какой треугольник называется остроугольным? прямоугольным? тупоугольным? Как называются стороны прямо­угольного треугольника?
  21. Докажите, что гипотенуза прямо­угольного треугольника больше катета.
  22. Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой. Что называется расстоянием от точки до прямой?
  23. Докажите, что катет прямо­угольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
  24. Докажите, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
  25. Сформулируйте четыре признака равенства прямоугольных треугольников, вытекающие из первого и второго признаков равенства треугольников.
  26. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
  27. Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку? Докажите теорему: каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
  28. Что такое условие теоремы и заключение теоремы? Какая теорема называется обратной данной теореме?
  29. Докажите теорему: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. По отношению к какой теореме эта теорема является обратной?
  30. Докажите, что множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.
  31. Докажите теорему: каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
  32. Докажите теорему: каждая точка, лежащая внутри неразвернутого угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. По отношению к какой теореме эта теорема является обратной?
  33. Докажите, что множество всех точек плоскости, каждая из которых лежит внутри неразвернутого угла и равноудалена от его сторон, есть биссектриса этого угла.
  34. Докажите, что проекцией отрезка, лежащего на одной из сторон острого угла, на другую сторону является отрезок.
  35. Сформулируйте и докажите теорему о проекциях равных отрезков.
  36. Докажите, что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка, один из которых в n раз больше второго (n – натуральное число), то проекция первого отрезка на другую сторону угла в n раз больше проекции второго отрезка.
  37. Докажите, что середина гипотенузы прямоуголь­ного треугольника равноудалена от всех его вершин.
  38. Докажите теорему: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Объясните, что такое неравенство треугольника.
  39. Докажите теорему: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
  40. Докажите теорему: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. По отношению к какой теореме эта теорема является обратной?
  41. Объясните, в чем состоит метод доказательства от противного. Приведите пример доказательства теоремы методом от противного.
  42. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.
  43. Какой угол называется внешним углом треугольника? Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с этим внешним углом.