Серединный перпендикуляр к отрезку

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему. На рисунке 106 прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку AB. Докажем теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство. Обозначим буквой M произвольную точку серединного перпендикуляра a к отрезку AB и докажем, что AM = BM.

Если точка M совпадает с серединой O отрезка AB, то справедливость равенства AM = BM очевидна. Если же M и O – различные точки, то прямоугольные треугольники OAM и OBM (рис. 107) равны по двум катетам, поэтому AM = BM. Теорема доказана.

Серединный перпендикуляр к отрезку

В любой теореме различают две части: условие и заключение. Условие теоремы – это то, что дано, заключение – то, что требуется доказать. Рассмотрим, например, теорему об углах равнобедренного треугольника. Чтобы выделить в ней условие и заключение, сформулируем ее так: «если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны». Условием здесь является первая часть утверждения: «если треугольник равнобедренный», а заключением – вторая часть: «то углы при его основании равны». Можно сказать так: дан равнобедренный треугольник; требуется доказать, что углы при его основании равны.

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – ее условие. Обратной теореме об углах равнобедренного треугольника является теорема о признаке равнобедренного треугольника: если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.

Пример серединного перпендикуляра к отрезку

Отметим, что если доказана какая-нибудь теорема, то из этого еще не следует справедливость обратного утверждения. Более того, обратное утверждение не всегда оказывается верным. Например, мы знаем, что если углы вертикальные, то они равны. Обратное утверждение: «если углы равны, то они вертикальные», конечно же, неверно.

Докажем теорему, обратную теореме о серединном перпендикуляре к отрезку.

Теорема. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку M, равноудаленную от концов отрезка AB, и докажем, что точка M лежит на серединном перпендикуляре a к этому отрезку.

Если точка M лежит на прямой AB, то она совпадает с серединой O отрезка AB, а значит, лежит на прямой a. Если же точка M не лежит на прямой AB, то точки A, B и M – вершины равнобедренного треугольника (рис. 108), так как AM = BM по условию. Отрезок MO – медиана этого треугольника, а следовательно, и высота, поэтому MO ⊥ AB. Таким образом, прямая MO – серединный перпендикуляр к отрезку AB, и точка M лежит на нем. Теорема доказана.

Равноудаленные точки

Следствие. Множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку. Следовательно, множество Ф и есть этот серединный перпендикуляр.

Множество всех точек, удовлетворяющих какому-либо условию, называют также геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию. Можно сказать, что серединный перпендикуляр к отрезку – это геометрическое место точек, равноудаленных от его концов.