Построение серединного перпендикуляра

Задача

Построить серединный перпендикуляр к данному отрезку.

Решение

Пусть AB – данный отрезок (рис. 159, а). Построим две окружности радиуса AB с центрами A и B (рис. 159, б, в). Они пересекутся в двух точках – P и Q (см. задачу 109). Проведем прямую PQ (рис. 159, г). Она и является искомым серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Построение серединного перпендикуляра отрезка

В самом деле, по построению точки P и Q равноудалены от концов отрезка AB, поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Таким образом, серединный перпендикуляр к отрезку AB проходит через точки P и Q, т. е. совпадает с прямой PQ.

Замечание. Построив серединный перпендикуляр к данному отрезку AB, мы попутно решили еще одну задачу: построить середину отрезка AB.

Действительно, точка M, в которой серединный перпендикуляр пересекается с отрезком AB (см. рис. 159, г), и есть середина этого отрезка.