Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой.

Доказательство. Пусть A – точка, не лежащая на данной прямой a (рис. 56, а). Докажем, что из точки A можно провести перпендикуляр к прямой a. Мысленно перегнем плоскость по прямой a (рис. 56, б) так, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При этом точка A наложится на некоторую точку. Обозначим ее буквой B. Разогнем плоскость и проведем через точки A и B прямую.

Пусть H – точка пересечения прямых AB и a (рис. 56, в). При повторном перегибании плоскости по прямой a точка H останется на месте. Поэтому луч HA наложится на луч HB, и, следовательно, угол 1 совместится с углом 2. Таким образом, ∠1 = ∠2. Так как углы 1 и 2 – смежные, то их сумма равна 180°, поэтому каждый из них – прямой. Следовательно, отрезок AH – перпендикуляр к прямой a. Теорема доказана.

Докажем теперь теорему о единственности перпендикуляра к прямой.

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, нельзя провести два перпендикуляра к этой прямой.

Доказательство. Пусть A – точка, не лежащая на данной прямой a (см. рис. 56, а). Докажем, что из точки A нельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Предположим, что из точки A можно провести два перпендикуляра AH и AK к прямой a (рис. 57). Мысленно перегнем плоскость по прямой a так, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При перегибании точки H и K остаются на месте, точка A накладывается на некоторую точку. Обозначим ее буквой B. При этом отрезки AH и AK накладываются на отрезки BH и BK.

Углы AHB и AKB – развернутые, так как каждый из них равен сумме двух прямых углов. Поэтому точки A, H и B лежат на одной прямой и также точки A, K и B лежат на одной прямой.

Таким образом, мы получили, что через точки A и B проходят две прямые AH и AK. Но этого не может быть. Следовательно, наше предположение неверно, а значит, из точки A нельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Теорема доказана.

Замечание 1. Теоремы о существовании и о единственном перпендикуляре к прямой можно объединить в одну теорему:

из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Замечание 2. Из теоремы о единственности перпендикуляра к прямой следует, что

две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, не пересекаются.

Предположим, что две прямые, перпендикулярные к прямой a, пересекаются в некоторой точке M. Точка M не может лежать на прямой a, так как в этом случае образуется развернутый угол, больший 180° (рис. 58, а). Если же точка M не лежит на прямой a (рис. 58, б), то из точки M будут проведены два перпендикуляра к прямой a, что невозможно. Таким образом, две прямые, перпендикулярные к прямой a, не пересекаются.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *